Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(h)

Passo 1

Então, a gente tem que ver se a matriz abaixo é inversível. Se for, a gente também precisa achar a inversa dela.
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como determinante e propriedades de matrizes triangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na estrutura da matriz. Essa matriz é triangular inferior, ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zero.
Isso é importante porque facilita o cálculo do determinante e a verificação da invertibilidade.

Passo 3

Agora, para saber se a matriz é inversível, precisamos calcular o determinante dela. Para matrizes triangulares (tanto superiores quanto inferiores), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, vamos calcular:
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é inversível.

Passo 4

Agora que sabemos que a matriz é inversível, vamos encontrar a inversa dela. Para matrizes triangulares, encontrar a inversa é mais simples porque a estrutura triangular facilita os cálculos.
A inversa de uma matriz triangular inferior também será uma matriz triangular inferior. Vamos chamar a matriz original de e sua inversa de .
Vamos encontrar os elementos de um a um, começando pela diagonal principal.

Passo 5

Primeiro, os elementos da diagonal principal de são os inversos dos elementos da diagonal principal de :
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular os elementos abaixo da diagonal principal. Para cada elemento onde , usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora, juntando todos os elementos que calculamos, a matriz inversa fica assim:

Resposta

A matriz é inversível e a sua inversa é:

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Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(a)
Seja um operador linear tal que todo é um autovetor. Mostre que existe tal que
Determine a transformaçâo linear T que representa uma: projeçâo ortogonal de vetores do no eixo ;
Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(k)