Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(h) (rrrr1 & 0 & 0 & 0 2 & 5 & 0 & 0 3 & 6 & 8 & 0 4 & 7 & 9 & 10)

Passo 1

Então, a gente tem que ver se a matriz abaixo é inversível. Se for, a gente também precisa achar a inversa dela.
1 & 0 & 0 & 0 2 & 5 & 0 & 0 3 & 6 & 8 & 0 4 & 7 & 9 & 10
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como determinante e propriedades de matrizes triangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na estrutura da matriz. Essa matriz é triangular inferior, ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zero.
1 & 0 & 0 & 0 2 & 5 & 0 & 0 3 & 6 & 8 & 0 4 & 7 & 9 & 10
Isso é importante porque facilita o cálculo do determinante e a verificação da invertibilidade.

Passo 3

Agora, para saber se a matriz é inversível, precisamos calcular o determinante dela. Para matrizes triangulares (tanto superiores quanto inferiores), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, vamos calcular:
Determinante = 1 times 5 times 8 times 10 = 400
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é inversível.

Passo 4

Agora que sabemos que a matriz é inversível, vamos encontrar a inversa dela. Para matrizes triangulares, encontrar a inversa é mais simples porque a estrutura triangular facilita os cálculos.
A inversa de uma matriz triangular inferior também será uma matriz triangular inferior. Vamos chamar a matriz original de e sua inversa de .
Vamos encontrar os elementos de um a um, começando pela diagonal principal.

Passo 5

Primeiro, os elementos da diagonal principal de A^-1ii = 1Aii são os inversos dos elementos da diagonal principal de A^-111 = 11 = 1 :
A^-122 = 15 = 0,2
Então:
A^-133 = 18 = 0,125
A^-144 = 110 = 0,1

Passo 6

Agora, vamos calcular os elementos abaixo da diagonal principal. Para cada elemento A^-1ij = -1Aii ( sumk=j^i-1 Aik cdot A^-1kj ) onde A^-121 = -15 times (2 times 1) = -25 = -0,4 , usamos a seguinte fórmula:
A^-131 = -18 times (3 times 1 + 6 times (-0,4)) = -18 times (3 - 2,4) = -0,68 = -0,075
Vamos calcular passo a passo:
  • Para A^-132 = -18 times (6 times 0,2) = -1,28 = -0,15 :
    A^-141 = -110 times (4 times 1 + 7 times (-0,4) + 9 times (-0,075)) = -110 times (4 - 2,8 - 0,675) = -0,52510 = -0,0525
  • Para A^-142 = -110 times (7 times 0,2 + 9 times (-0,15)) = -110 times (1,4 - 1,35) = -0,0510 = -0,005 :
    A^-143 = -110 times (9 times 0,125) = -1,12510 = -0,1125
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora, juntando todos os elementos que calculamos, a matriz inversa A^-1 = 1 & 0 & 0 & 0 -0,4 & 0,2 & 0 & 0 -0,075 & -0,15 & 0,125 & 0 -0,0525 & -0,005 & -0,1125 & 0,1 fica assim:

Resposta

A matriz é inversível e a sua inversa é:
A^-1 = 1 & 0 & 0 & 0 -0,4 & 0,2 & 0 & 0 -0,075 & -0,15 & 0,125 & 0 -0,0525 & -0,005 & -0,1125 & 0,1

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