Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
(h)
Passo 1
Então, a gente tem que ver se a matriz abaixo é inversível. Se for, a gente também precisa achar a inversa dela.
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como determinante e propriedades de matrizes triangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na estrutura da matriz. Essa matriz é triangular inferior, ou seja, todos os elementos acima da diagonal principal são zero.
Isso é importante porque facilita o cálculo do determinante e a verificação da invertibilidade.
Passo 3
Agora, para saber se a matriz é inversível, precisamos calcular o determinante dela. Para matrizes triangulares (tanto superiores quanto inferiores), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, vamos calcular:
Como o determinante é diferente de zero (), a matriz é inversível.
Passo 4
Agora que sabemos que a matriz é inversível, vamos encontrar a inversa dela. Para matrizes triangulares, encontrar a inversa é mais simples porque a estrutura triangular facilita os cálculos.
A inversa de uma matriz triangular inferior também será uma matriz triangular inferior. Vamos chamar a matriz original de e sua inversa de .
Vamos encontrar os elementos de um a um, começando pela diagonal principal.
Passo 5
Primeiro, os elementos da diagonal principal de são os inversos dos elementos da diagonal principal de :
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular os elementos abaixo da diagonal principal. Para cada elemento onde , usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 7
Agora, juntando todos os elementos que calculamos, a matriz inversa fica assim: