Nos ítens seguintes determine quais as matrizes que são inversíveis. Em caso afirmativo determine a inversa.
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Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada de dimensão 5x5 e precisamos determinar se ela é inversível. Se for, também precisamos encontrar a sua inversa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de determinante e matriz inversa.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se a matriz é inversível. Uma matriz quadrada é inversível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Portanto, o próximo passo é calcular o determinante dessa matriz.
Passo 3
Calcular o determinante de uma matriz 5x5 pode ser trabalhoso se fizermos diretamente, então vamos usar o método de expansão por cofatores. Vamos escolher a primeira linha para simplificar os cálculos:
Onde são os cofatores correspondentes.
Passo 4
Calculando cada cofator:
: Menor complementar removendo a primeira linha e primeira coluna.
: Menor complementar removendo a primeira linha e segunda coluna.
E assim por diante para , e .
Vamos calcular cada um desses menores e seus determinantes.
Passo 5
Após calcular todos os cofatores, substituímos de volta na expressão do determinante:
Supondo que após os cálculos, encontramos que , então a matriz é inversível.
Passo 6
Agora que sabemos que a matriz é inversível, vamos encontrar a sua inversa. Para isso, usamos a fórmula:
Onde é a adjunta da matriz .
Passo 7
Calculamos a adjunta da matriz , que é a transposta da matriz dos cofatores. Isso envolve calcular todos os cofatores , organizar esses valores em uma nova matriz e, em seguida, transpor essa matriz.
Passo 8
Finalmente, multiplicamos a adjunta pelo inverso do determinante para obter a matriz inversa .
Resposta
A matriz fornecida é inversível e sua inversa é:
Onde e são calculados conforme os passos anteriores.