Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:
Passo 1
Vamos verificar se a aplicação
definida por
é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar conceitos de transformações lineares da álgebra linear.
Passo 2
Uma transformação
é linear se satisfaz duas propriedades principais:
- Aditividade:
para todos os vetores em . - Homogeneidade:
para todo escalar e todo vetor em .
Vamos verificar se
atende a essas duas propriedades.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a Aditividade. Seja
e
. Então:
Por outro lado:
Comparando os resultados:
Portanto, a propriedade de aditividade não é satisfeita.
Passo 4
Como a transformação
não satisfaz a propriedade de aditividade, não precisamos verificar a homogeneidade. Para ser linear, ambas as propriedades precisam ser atendidas, e já vemos que uma delas falha.
Resposta
A aplicação
não é uma transformação linear.
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Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:
Se
e
, ache
.
Determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(d)
Determine uma transformação linear
tal que
e
.