Verifique quais das aplicações abaixo são lineares: T: R^2 R^2 ; T(x, y)=(x+1,5 y)

Passo 1

Vamos verificar se a aplicação definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar conceitos de transformações lineares da álgebra linear.

Passo 2

Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para todos os vetores em .
  2. Homogeneidade: para todo escalar e todo vetor em .
Vamos verificar se atende a essas duas propriedades.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a Aditividade. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2 + 1, 5(y1 + y2)) e T(u) + T(v) = (x1 + 1, 5y1) + (x2 + 1, 5y2) = (x1 + x2 + 2, 5y1 + 5y2) . Então:
T(u + v) = (x1 + x2 + 1, 5y1 + 5y2) neq (x1 + x2 + 2, 5y1 + 5y2) = T(u) + T(v)
Por outro lado:
Comparando os resultados:
Portanto, a propriedade de aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Como a transformação não satisfaz a propriedade de aditividade, não precisamos verificar a homogeneidade. Para ser linear, ambas as propriedades precisam ser atendidas, e já vemos que uma delas falha.

Resposta

A aplicação não é uma transformação linear.

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