Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:

Passo 1

Vamos verificar se a aplicação definida por é uma transformação linear. Para isso, vamos utilizar conceitos de transformações lineares da álgebra linear.

Passo 2

Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: para todos os vetores em .
  2. Homogeneidade: para todo escalar e todo vetor em .
Vamos verificar se atende a essas duas propriedades.

Passo 3

Primeiro, vamos verificar a Aditividade. Seja e . Então:
Por outro lado:
Comparando os resultados:
Portanto, a propriedade de aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Como a transformação não satisfaz a propriedade de aditividade, não precisamos verificar a homogeneidade. Para ser linear, ambas as propriedades precisam ser atendidas, e já vemos que uma delas falha.

Resposta

A aplicação não é uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Verifique quais das aplicações abaixo são lineares:
Se e , ache .
Determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear
(d)
Determine uma transformação linear tal que e .