Seja T: U V uma transformação linear. Mostre que: N(T) é subespaço de U.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. A questão pede para mostrarmos que o Núcleo de uma transformação linear , denotado por , é um subespaço de . Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que é o núcleo dessa transformação e os critérios que definem um subespaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T(u + v) = T(u) + T(v) é dita linear se, para todos os vetores T(cu) = cT(u) em N(T) = u in U mid T(u) = 0 e todo escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
O núcleo de , , é o conjunto de todos os vetores em que são enviados para o vetor zero em :

Passo 3

Agora, para mostrar que é um subespaço de , precisamos verificar três propriedades:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição.
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

1. O vetor zero está em T(0) = 0 :
Vamos verificar se o vetor zero de pertence a . Pela definição da transformação linear:
Portanto, .

Passo 5

2. T(u) = 0 e T(v) = 0 é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores T(u + v) = T(u) + T(v) = 0 + 0 = 0 e em . Isso significa que:
Queremos mostrar que também está em :
Assim, .

Passo 6

3. T(u) = 0 é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor T(cu) = cT(u) = c0 = 0 em e um escalar . Temos:
Queremos mostrar que também está em :
Portanto, .

Resposta

Como satisfaz as três propriedades necessárias, concluímos que é, de fato, um subespaço de .

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