Seja
uma transformação linear. Mostre que:
é subespaço de
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. A questão pede para mostrarmos que o Núcleo de uma transformação linear
, denotado por
, é um subespaço de
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear, o que é o núcleo dessa transformação e os critérios que definem um subespaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é dita linear se, para todos os vetores
em
e todo escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
O núcleo de
,
, é o conjunto de todos os vetores em
que são enviados para o vetor zero em
:
Passo 3
Agora, para mostrar que
é um subespaço de
, precisamos verificar três propriedades:
- O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
1. O vetor zero está em
:
Vamos verificar se o vetor zero de
pertence a
. Pela definição da transformação linear:
Portanto,
.
Passo 5
2.
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores
e
em
. Isso significa que:
Queremos mostrar que
também está em
:
Assim,
.
Passo 6
3.
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor
em
e um escalar
. Temos:
Queremos mostrar que
também está em
:
Portanto,
.
Resposta
Como
satisfaz as três propriedades necessárias, concluímos que
é, de fato, um subespaço de
.