Determine se as transformações lineares abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras (isto é isomorfismo). Caso seja isomorfismo, determine a inversa.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa transformação é injetora, sobrejetora ou bijetora (também conhecida como isomorfismo). Se ela for um isomorfismo, a gente também precisa encontrar a inversa dela. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como núcleo e imagem da transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a transformação é injetora. Para isso, precisamos encontrar o núcleo de , que é o conjunto de todos os vetores que satisfazem .
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Comparando as duas expressões para :
Então, o único vetor no núcleo de é .
Passo 4
Como o núcleo de contém apenas o vetor nulo, isso significa que é injetora. Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Para ser sobrejetora, a imagem de precisa gerar todo o espaço de chegada, que nesse caso é .
No entanto, a dimensão de é 2, e a dimensão de é 3. Como a dimensão do domínio é menor que a do contradomínio, a imagem de pode, no máximo, gerar um subespaço de dimensão 2 em . Isso significa que não é sobrejetora.
Passo 5
Como é injetora, mas não é sobrejetora, ela não é bijetora (não é um isomorfismo). Portanto, não existe uma transformação inversa para .
Resposta
A transformação é injetora, mas não é sobrejetora. Assim, não é bijetora e não possui inversa.