Determine se as transformações lineares abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras (isto é isomorfismo). Caso seja isomorfismo, determine a inversa.
(b) T: R^2 R^3, T(x, y)=(x+2 y, x+y, x-y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa transformação é injetora, sobrejetora ou bijetora (também conhecida como isomorfismo). Se ela for um isomorfismo, a gente também precisa encontrar a inversa dela. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como núcleo e imagem da transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a transformação é injetora. Para isso, precisamos encontrar o núcleo de T(x, y) = (x + 2y, x + y, x - y) = (0, 0, 0) , que é o conjunto de todos os vetores x + 2y = 0 x + y = 0 x - y = 0 que satisfazem .
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e .

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da segunda equação: -y = y Rightarrow 2y = 0 Rightarrow y = 0 Rightarrow x = 0
  2. Da terceira equação:
Comparando as duas expressões para :
Então, o único vetor no núcleo de é .

Passo 4

Como o núcleo de contém apenas o vetor nulo, isso significa que é injetora. Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Para ser sobrejetora, a imagem de precisa gerar todo o espaço de chegada, que nesse caso é .
No entanto, a dimensão de é 2, e a dimensão de é 3. Como a dimensão do domínio é menor que a do contradomínio, a imagem de pode, no máximo, gerar um subespaço de dimensão 2 em . Isso significa que não é sobrejetora.

Passo 5

Como é injetora, mas não é sobrejetora, ela não é bijetora (não é um isomorfismo). Portanto, não existe uma transformação inversa para .

Resposta

A transformação é injetora, mas não é sobrejetora. Assim, não é bijetora e não possui inversa.

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