Determine se as transformações lineares abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras (isto é isomorfismo). Caso seja isomorfismo, determine a inversa.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a transformação linear , definida por , é injetora, sobrejetora ou bijetora (também chamada de isomorfismo). Além disso, se for isomorfismo, vamos achar a inversa dela. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e propriedades de transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica de .
Então, temos:
Assim, a matriz de é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar se ela é inversível. Se o determinante for diferente de zero, a transformação é bijetora.
Calculando o determinante de :
Como , a matriz é inversível.
Passo 4
Como a matriz é inversível, isso significa que a transformação linear é bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora. Portanto, é um isomorfismo.
Agora, vamos encontrar a inversa de , que é representada pela matriz inversa .
Para encontrar , usamos a fórmula:
Já sabemos que .
Calculando a matriz adjunta :
Calculando cada menor:
Então:
Resposta
A transformação linear é bijetora (isomorfismo) e sua inversa é dada por: