Determine se as transformações lineares abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras (isto é isomorfismo). Caso seja isomorfismo, determine a inversa.
(d) T: R^3 R^3, T(x, y)=(x+z, x+y, x-y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a transformação linear , definida por , é injetora, sobrejetora ou bijetora (também chamada de isomorfismo). Além disso, se for isomorfismo, vamos achar a inversa dela. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como matrizes, determinantes e propriedades de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T(e1) = T(1, 0, 0) = (1 + 0, 1 + 0, 1 - 0) = (1, 1, 1) por uma matriz. Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores da base canônica de T(e2) = T(0, 1, 0) = (0 + 0, 0 + 1, 0 - 1) = (0, 1, -1) .
Então, temos:
T(e3) = T(0, 0, 1) = (0 + 1, 0 + 0, 0 - 0) = (1, 0, 0)
A = 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 1 & -1 & 0
Assim, a matriz de é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para verificar se ela é inversível. Se o determinante for diferente de zero, a transformação é bijetora.
Calculando o determinante de det(A) = 1 cdot 1 & 0 -1 & 0 - 0 cdot 1 & 0 1 & 0 + 1 cdot 1 & 1 1 & -1 :
det(A) = 1 cdot (1 times 0 - 0 times (-1)) - 0 + 1 cdot (1 times (-1) - 1 times 1) = 1 cdot 0 + 0 + 1 cdot (-2) = -2
Como , a matriz é inversível.

Passo 4

Como a matriz A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) é inversível, isso significa que a transformação linear adj(A) = 1 & 0 -1 & 0 & - 1 & 0 1 & 0 & 1 & 1 1 & -1 - 0 & 1 -1 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & - 1 & 0 1 & -1 0 & 1 1 & 1 & - 1 & 1 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 é bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora. Portanto, adj(A) = 0 & 0 & -2 1 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 é um isomorfismo.
Agora, vamos encontrar a inversa de A^-1 = 1-2 cdot 0 & 0 & -2 1 & -1 & 1 -1 & 0 & 1 = 0 & 0 & 1 -0.5 & 0.5 & -0.5 0.5 & 0 & -0.5 , que é representada pela matriz inversa .
Para encontrar , usamos a fórmula:
Já sabemos que .
Calculando a matriz adjunta :
Calculando cada menor:
Então:

Resposta

A transformação linear T^-1(a, b, c) = ( c, -a2 + b2 - c2, a2 - c2 ) é bijetora (isomorfismo) e sua inversa é dada por:

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