Determine se as transformações lineares abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras (isto é isomorfismo). Caso seja isomorfismo, determine a inversa.
(a) T: R^2 R^2, T(x, y)=(x-y, x-y)

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para a gente determinar se a transformação linear , definida por , é injetora, sobrejetora ou bijetora (isomorfismo). Para isso, vamos precisar entender o que são essas propriedades e como verificar cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que significa a transformação ser injetora. Uma transformação é injetora se cada elemento do conjunto de chegada é atingido por no máximo um elemento do conjunto de partida. Em termos práticos, isso significa que se T(x, y) = (x - y, x - y) , então necessariamente (x1 - y1, x1 - y1) = (x2 - y2, x2 - y2) .
Vamos verificar isso para a nossa transformação:
x1 - y1 = x2 - y2
Seja :
Isso implica que:
Mas isso não garante que e . Por exemplo, e , mas . Portanto, a transformação não é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a transformação é sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada é atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida. Ou seja, para todo T(x, y) = (x - y, x - y) em x - y = a , existe x - y = b em tal que .
Vamos ver se isso é verdade:
Para atingir um ponto , precisamos que:
Isso só é possível se . Ou seja, só conseguimos atingir pontos onde as duas coordenadas são iguais, como ou . Portanto, a transformação não é sobrejetora porque não conseguimos alcançar todos os pontos de , apenas aqueles onde as coordenadas são iguais.

Passo 4

Como vimos, a transformação não é injetora e não é sobrejetora. Para ser um isomorfismo (ou bijetora), ela precisa ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Como faltou uma dessas propriedades, a transformação não é bijetora e, portanto, não é um isomorfismo.

Resposta

A transformação não é injetora, não é sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora (isomorfismo).

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