Determine se as transformações lineares abaixo são injetoras, sobrejetoras ou bijetoras (isto é isomorfismo). Caso seja isomorfismo, determine a inversa.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado pede para a gente determinar se a transformação linear
, definida por
, é injetora, sobrejetora ou bijetora (isomorfismo). Para isso, vamos precisar entender o que são essas propriedades e como verificar cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que significa a transformação ser injetora. Uma transformação é injetora se cada elemento do conjunto de chegada é atingido por no máximo um elemento do conjunto de partida. Em termos práticos, isso significa que se
, então necessariamente
.
Vamos verificar isso para a nossa transformação:
Seja
:
Isso implica que:
Mas isso não garante que
e
. Por exemplo,
e
, mas
. Portanto, a transformação não é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a transformação é sobrejetora. Uma transformação é sobrejetora se todo elemento do conjunto de chegada é atingido por pelo menos um elemento do conjunto de partida. Ou seja, para todo
em
, existe
em
tal que
.
Vamos ver se isso é verdade:
Para atingir um ponto
, precisamos que:
Isso só é possível se
. Ou seja, só conseguimos atingir pontos onde as duas coordenadas são iguais, como
ou
. Portanto, a transformação não é sobrejetora porque não conseguimos alcançar todos os pontos de
, apenas aqueles onde as coordenadas são iguais.
Passo 4
Como vimos, a transformação
não é injetora e não é sobrejetora. Para ser um isomorfismo (ou bijetora), ela precisa ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Como faltou uma dessas propriedades, a transformação não é bijetora e, portanto, não é um isomorfismo.
Resposta
A transformação
não é injetora, não é sobrejetora e, consequentemente, não é bijetora (isomorfismo).
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