a) Determine a transformada cosseno de Fourier de
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a transformada cosseno de Fourier da função
, definida por:
Aqui, estamos trabalhando com a transformada de Fourier, especificamente a transformada cosseno de Fourier. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da transformada cosseno de Fourier e como aplicá-la a funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transformada cosseno de Fourier de uma função
é dada por:
No nosso caso, como
é zero para
, o intervalo da integral se reduz de
a
.
Passo 3
Substituindo
, temos:
Vamos agora resolver essa integral.
Passo 4
Vamos dividir a integral em duas partes:
Primeiro, calculamos
. A antiderivada de
é
. Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes.
Escolhemos
e
. Então, temos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Agora, precisamos calcular
. Fazendo outra integração por partes com
e
:
Aplicando novamente:
A integral resultante é:
Substituindo de volta:
Avaliado de
a
:
Simplificando:
Resposta
Substituindo de volta na expressão original da transformada cosseno de Fourier:
Simplificando os termos:
Fatorando:
Portanto, a transformada cosseno de Fourier da função
é:
Exercícios relacionados
Expresse o valor exato de cada expressão.
(a)
(a)
Verifique o Teorema de Green calculando as duas integrais do enunciado (do teorema) para
e
a fronteira da região
.
Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
Seja
. Calcule
.