a) Determine a transformada cosseno de Fourier de .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a transformada cosseno de Fourier da função , definida por:
Aqui, estamos trabalhando com a transformada de Fourier, especificamente a transformada cosseno de Fourier. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a fórmula da transformada cosseno de Fourier e como aplicá-la a funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada cosseno de Fourier de uma função é dada por:
No nosso caso, como é zero para , o intervalo da integral se reduz de a .

Passo 3

Substituindo , temos:
Vamos agora resolver essa integral.

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes:
Primeiro, calculamos . A antiderivada de é . Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Para isso, usamos a técnica de integração por partes.
Escolhemos e . Então, temos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Agora, precisamos calcular . Fazendo outra integração por partes com e :
Aplicando novamente:
A integral resultante é:
Substituindo de volta:
Avaliado de a :
Simplificando:

Resposta

Substituindo de volta na expressão original da transformada cosseno de Fourier:
Simplificando os termos:
Fatorando:
Portanto, a transformada cosseno de Fourier da função é:

Exercícios relacionados

Expresse o valor exato de cada expressão.
(a)
Verifique o Teorema de Green calculando as duas integrais do enunciado (do teorema) para e a fronteira da região .
Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
Seja . Calcule .