Verifique o Teorema de Green calculando as duas integrais do enunciado (do teorema) para
e
a fronteira da região
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar o Teorema de Green calculando as duas integrais envolvidas para o campo vetorial
e a curva
, que é a fronteira da região
definida pela elipse
. Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para calcular essas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema conecta uma integral de linha ao longo de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
que está dentro de
. Basicamente, ele diz que:
Onde
é o campo vetorial.
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Precisamos calcular duas coisas: a integral de linha
e a integral dupla
, e verificar se elas são iguais, conforme o Teorema de Green.
Passo 4
Vamos começar calculando a integral de linha
. Porém, calcular essa integral diretamente pode ser complicado devido à forma da curva
. Por isso, é mais fácil usar o Teorema de Green e calcular a integral dupla.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a integral dupla:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral dupla:
A integral
representa a área da região
. Como
é uma elipse
, sua área é dada por
, onde
e
são os semi-eixos.
Aqui,
e
, então:
Portanto,
Passo 7
Agora, segundo o Teorema de Green, essa integral dupla deve ser igual à integral de linha
. Então:
Resposta
Conforme o Teorema de Green, as duas integrais calculadas são iguais e valem
.
Exercícios relacionados
Nos Exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcular
sobre a região
dada.
15. é o cilindro circular reto cuja base é a circunferência
no plano
e cujo topo está no plano
.
15.
Nos Exercícios 15-20, monte a integral iterada para calcular
sobre a região
dada.
17. Dé o cilindro circular reto sólido cuja base é a região no plano que está dentro da cardioide
e fora da circunferência
e cujo topo está no plano
.
17. Dé o cilindro circular reto sólido cuja base é a região no plano
Expresse o valor exato de cada expressão.
(a)
(a)
a) Determine a transformada cosseno de Fourier de
.