Verifique o Teorema de Green calculando as duas integrais do enunciado (do teorema) para e a fronteira da região .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar o Teorema de Green calculando as duas integrais envolvidas para o campo vetorial e a curva , que é a fronteira da região definida pela elipse . Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para calcular essas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Esse teorema conecta uma integral de linha ao longo de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que está dentro de . Basicamente, ele diz que:
Onde é o campo vetorial.

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Precisamos calcular duas coisas: a integral de linha e a integral dupla , e verificar se elas são iguais, conforme o Teorema de Green.

Passo 4

Vamos começar calculando a integral de linha . Porém, calcular essa integral diretamente pode ser complicado devido à forma da curva . Por isso, é mais fácil usar o Teorema de Green e calcular a integral dupla.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a integral dupla:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral dupla:
A integral representa a área da região . Como é uma elipse , sua área é dada por , onde e são os semi-eixos.
Aqui, e , então:
Á
Portanto,

Passo 7

Agora, segundo o Teorema de Green, essa integral dupla deve ser igual à integral de linha . Então:

Resposta

Conforme o Teorema de Green, as duas integrais calculadas são iguais e valem .

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Expresse o valor exato de cada expressão.
(a)
a) Determine a transformada cosseno de Fourier de .