Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos representá-la usando uma integral que envolva seno ou cosseno. Para fazer isso, vamos usar conceitos de integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser escrita de forma mais simples quando consideramos as propriedades das funções ímpares e pares. Neste caso, como
é uma função par e é uma função ímpar, a multiplicação das duas resultará em uma função ímpar.
Passo 3
Agora, queremos expressar como uma integral envolvendo seno ou cosseno. Sabemos que integrais que combinam exponenciais e funções trigonométricas podem ser resolvidas usando integrais de funções do tipo ou
.
Passo 4
Vamos considerar a integral de em relação a
. A fórmula para essa integral é:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando essa fórmula à nossa função
, temos
(porque
para
) e
(já que temos ). Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
Resposta
Portanto, a função
pode ser representada pela integral:
Exercícios relacionados
a) Determine a transformada cosseno de Fourier de
.
Expresse o valor exato de cada expressão.
(a)
(a)
Seja
. Calcule
.
Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.