Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos representá-la usando uma integral que envolva seno ou cosseno. Para fazer isso, vamos usar conceitos de integrais envolvendo funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode ser escrita de forma mais simples quando consideramos as propriedades das funções ímpares e pares. Neste caso, como é uma função par e é uma função ímpar, a multiplicação das duas resultará em uma função ímpar.

Passo 3

Agora, queremos expressar como uma integral envolvendo seno ou cosseno. Sabemos que integrais que combinam exponenciais e funções trigonométricas podem ser resolvidas usando integrais de funções do tipo ou .

Passo 4

Vamos considerar a integral de em relação a . A fórmula para essa integral é:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando essa fórmula à nossa função , temos (porque para ) e (já que temos ). Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

Resposta

Portanto, a função pode ser representada pela integral:

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a) Determine a transformada cosseno de Fourier de .
Expresse o valor exato de cada expressão.
(a)
Seja . Calcule .
Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.