Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Fourier! A gente tem uma função definida por partes:
Nosso objetivo é encontrar a transformada de Fourier dessa função usando a tabela de transformadas que vimos na aula. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a fórmula da transformada de Fourier e identificar se a função se encaixa em algum caso da tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Fourier. A transformada de uma função é dada por:
Mas como nossa função é zero fora do intervalo , podemos simplificar a integral para esse intervalo:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. Para isso, vamos usar a fórmula de integração por partes, que é uma técnica útil para integrar produtos de funções. A integração por partes é dada por:
Escolhemos e . Então, calculamos e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Calculando o termo de fronteira:
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculamos a segunda integral:
Essa integral é uma transformada de Fourier básica:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Juntando os dois resultados:
Podemos simplificar isso para uma forma mais compacta:

Resposta

A transformada de Fourier da função dada é:

Exercícios relacionados

Considere uma constante .
(a) Determine a parte real e a parte imaginária da função .
Neste exercício, primeiro faça uma substituição conveniente e, na sequência, use integração por partes para calcular
а)
Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.
(a)
Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.
(d)