Neste exercício, primeiro faça uma substituição conveniente e, na sequência, use integração por partes para calcular
а)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de de até . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando substituição e integração por partes. Vamos precisar entender como fazer uma troca de variável (substituição) e como aplicar a técnica de integração por partes para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Isso significa que:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável :
  • Quando :
  • Quando :
Substituindo na integral original:
Simplificando em termos de :

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de integração por partes para resolver . A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Portanto, a integral original fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a expressão entre os limites de integração:
Para :
Para :
Subtraindo os valores:
Multiplicando por :

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

Sem expandir o binômio no integrando, use integração por partes para calcular a integral definida
Use o item (b) para obter a primitiva da função tal que
Considere uma constante .
(a) Determine a parte real e a parte imaginária da função .
Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.
(b)