Neste exercício, primeiro faça uma substituição conveniente e, na sequência, use integração por partes para calcular
а) integralraizpi / 2^raizpi t^3 sen(t^2) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de de até . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente usando substituição e integração por partes. Vamos precisar entender como fazer uma troca de variável (substituição) e como aplicar a técnica de integração por partes para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar du = 2t , dt Rightarrow t , dt = du2 . Isso significa que:
u = ( raizpi / 2 )^2 = pi2
Agora, precisamos ajustar os limites de integração para a nova variável u = ( raizpi )^2 = pi :
  • Quando integralraizpi / 2^raizpi t^3 sen(t^2) , dt = integralpi/2^pi t^2 cdot t sen(u) cdot du2 :
t^2 = u Rightarrow integralpi/2^pi u cdot sen(u) cdot du2 = 12 integralpi/2^pi u sen(u) , du
  • Quando :
Substituindo na integral original:
Simplificando em termos de :

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica de integração por partes para resolver . A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
u = u Rightarrow du = du
Aplicando a fórmula:
Portanto, a integral original fica:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a expressão entre os limites de integração:
Para - pi cos(pi) + sen(pi) = -pi (-1) + 0 = pi :
Para - pi2 cos( pi2 ) + sen( pi2 ) = -pi2 cdot 0 + 1 = 1 :
Subtraindo os valores:
( pi - 1 )
Multiplicando por 12 (pi - 1) = pi2 - 12 :

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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