Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala de aula.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a Transformada de Fourier de uma função que é definida de forma diferente para
e para
. A função é dada por:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição da Transformada de Fourier e algumas transformadas básicas da tabela que usamos em sala. A Transformada de Fourier nos ajuda a transformar uma função do domínio do tempo ou espaço para o domínio da frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da Transformada de Fourier:
Como nossa função
é dividida em duas partes, vamos dividir a integral em duas partes: uma de
a 0 e outra de 0 a
.
Passo 3
Vamos calcular cada parte separadamente.
-
Para
: A transformada dessa parte é:Integrando: -
Para
:A transformada dessa parte é:Integrando:
Passo 4
Agora, somamos as duas partes para obter a Transformada de Fourier completa:
Podemos simplificar essa expressão juntando os termos:
Resposta
A Transformada de Fourier da função dada é: