Se
, encontre
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
e precisamos encontrar:
- A primeira derivada
- O vetor tangente unitário
no ponto onde - A segunda derivada
- O produto vetorial
Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como derivação de funções vetoriais, normalização de vetores para achar o vetor unidade, e o produto vetorial entre dois vetores. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial
. A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes em relação a
.
Então, se
, a primeira derivada
será:
Passo 3
Agora, vamos calcular o vetor tangente unitário
no ponto onde
. O vetor tangente unitário é a direção da curva naquele ponto, e é obtido normalizando o vetor derivada
.
Primeiro, avaliamos
em
:
Agora, calculamos a magnitude de
:
Então, o vetor tangente unitário
é:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a segunda derivada
. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada.
Sabemos que:
Derivando cada componente novamente:
Passo 5
Por último, vamos calcular o produto vetorial
. O produto vetorial entre dois vetores dá um vetor que é perpendicular a ambos.
Temos:
O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então: