Se r(t) = (t, t^2, t^3), encontre r'(t), T(1), r''(t) e r'(t) ^ r''(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial e precisamos encontrar:
  1. A primeira derivada
  2. O vetor tangente unitário no ponto onde
  3. A segunda derivada
  4. O produto vetorial
Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como derivação de funções vetoriais, normalização de vetores para achar o vetor unidade, e o produto vetorial entre dois vetores. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função vetorial . A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma das suas componentes em relação a .
Então, se , a primeira derivada será:

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor tangente unitário no ponto onde . O vetor tangente unitário é a direção da curva naquele ponto, e é obtido normalizando o vetor derivada .
Primeiro, avaliamos em :
Agora, calculamos a magnitude de :
Então, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a segunda derivada . A segunda derivada é a derivada da primeira derivada.
Sabemos que:
Derivando cada componente novamente:

Passo 5

Por último, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores dá um vetor que é perpendicular a ambos.
Temos:
O produto vetorial é dado por:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então:

Resposta

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