(a) Para a função f e a região R fornecidas, expresse a integral dupla integral duplaD f(x, y) d A como uma integral iterada.
(b) Calcule a integral iterada.
f(x, y)=2 y

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para expressar e calcular a integral dupla da função sobre a região . Para isso, vamos usar o conceito de integrais iteradas, que nos permite calcular integrais duplas dividindo-as em duas integrais simples, uma de cada vez.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites de integração que definem a região . Vamos supor que seja um retângulo definido pelos limites e . Com esses limites, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada.

Passo 3

A integral dupla fica assim:
integral duplaD f(x, y) , dA = integrala^b integralc^d 2y , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de a e depois em relação a de a .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral interna, que é a integral de integralc^d 2y , dy = [ y^2 ]c^d = d^2 - c^2 em relação a :

Passo 5

Em seguida, integramos o resultado em relação a integrala^b (d^2 - c^2) , dx = (d^2 - c^2) cdot (b - a) :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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