Determine a transformada de Fourier das seguintes funções
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Fourier da função
, onde
é a função indicadora que vale 1 quando
está no intervalo
e 0 caso contrário. Para isso, vamos precisar saber o que é a transformada de Fourier e como aplicá-la a funções definidas em intervalos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função
é definida por:
Essa fórmula nos permite transformar uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências.
Passo 3
No nosso caso, a função
é zero fora do intervalo
. Portanto, a integral da transformada de Fourier fica limitada a esse intervalo:
Passo 4
Vamos resolver essa integral. Primeiro, identificamos que temos uma integral do tipo
, que pode ser resolvida por partes. Vamos definir:
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes
, temos:
Passo 6
Agora, precisamos avaliar essa expressão de
a
:
Passo 7
Calculando nos limites:
Para :
Para
Para
:
Passo 8
Subtraindo
de
, temos:
Passo 9
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que
e
. Aplicando isso:
Passo 10
Finalmente, agrupando os termos:
Resposta
A transformada de Fourier da função
é: