Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: R -> R.
f(x) = x * chi[-1,1](x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Fourier da função , onde é a função indicadora que vale 1 quando está no intervalo e 0 caso contrário. Para isso, vamos precisar saber o que é a transformada de Fourier e como aplicá-la a funções definidas em intervalos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. A transformada de Fourier de uma função é definida por:
Essa fórmula nos permite transformar uma função do domínio do tempo (ou espaço) para o domínio das frequências.

Passo 3

No nosso caso, a função é zero fora do intervalo . Portanto, a integral da transformada de Fourier fica limitada a esse intervalo:

Passo 4

Vamos resolver essa integral. Primeiro, identificamos que temos uma integral do tipo , que pode ser resolvida por partes. Vamos definir:

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes , temos:

Passo 6

Agora, precisamos avaliar essa expressão de a :

Passo 7

Calculando nos limites:
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo de , temos:

Passo 9

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que e . Aplicando isso:

Passo 10

Finalmente, agrupando os termos:

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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