Identifique a curva dada pelo conjunto imagem das seguintes funções vetoriais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar a curva que cada uma dessas funções vetoriais representa. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, que nos ajudam a entender como curvas são descritas no plano ou no espaço. Vamos precisar analisar cada função vetorial e ver qual tipo de curva ela descreve, como uma reta, parábola, círculo, etc.
Passo 2
Vamos começar com a primeira função vetorial:
Aqui,
nos dá as coordenadas
e
em termos de
. Para identificar a curva, vamos eliminar o parâmetro
.
Sabemos que
e
. Isso significa que
é sempre 1, independente do valor de
.
Passo 3
Isso indica que a curva é uma reta vertical no ponto
. Em Geometria Analítica, uma reta vertical tem a equação
, onde
é uma constante. No nosso caso,
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda função vetorial:
Novamente, temos
e
. Vamos eliminar
para encontrar a relação entre
e
.
Passo 5
Da equação
, podemos expressar
. Substituindo esse valor na equação de
:
Passo 6
Rearranjando para isolar
:
Isso é a equação de uma reta, na forma
, onde
e
.
Passo 7
Vamos para a terceira função vetorial:
Aqui,
e
. Vamos relacionar
e
.
Passo 8
Como
, então
. Substituindo na equação de
:
Isso nos dá a equação de uma função cúbica, que é uma curva conhecida por ter um ponto de inflexão.
Passo 9
Agora, a quarta função vetorial:
Temos
e . Vamos relacionar
e
sem o parâmetro
.
Passo 10
Sabemos que . Vamos manipular as equações:
Substituindo na identidade trigonométrica:
Passo 11
Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
Esta é a equação de uma elipse, onde os coeficientes de
e
são diferentes, indicando alongamento em um dos eixos.
Passo 12
Passando para a quinta função vetorial:
Aqui, e . Vamos relacionar
e
.
Passo 13
Sabemos que , mas aqui vamos usar diretamente
, já que .
Assim, substituindo
na equação de
:
Isso é a equação de uma parábola.
Passo 14
Agora, a sexta função vetorial:
Temos
, , e
. Vamos analisar a relação entre
,
e
.
Passo 15
Da identidade trigonométrica , temos:
Além disso,
é uma constante. Portanto, a curva está no plano
.
Passo 16
Assim, a curva descrita é um círculo de raio 1 no plano
.
Passo 17
Por fim, a sétima função vetorial:
Aqui,
,
e
. Vamos relacionar essas variáveis.
Passo 18
Da primeira equação,
. Substituindo nas outras:
Passo 19
Podemos expressar
em termos de
:
. Substituindo na equação de
:
Isso caracteriza uma reta no espaço tridimensional.
Resposta
As curvas identificadas para cada função vetorial são:
-
→ Reta vertical . -
→ Reta . -
→ Função cúbica . - → Elipse
. - → Parábola
. - → Círculo de raio 1 no plano
. -
→ Reta no espaço tridimensional.