Identifique a curva dada pelo conjunto imagem das seguintes funções vetoriais: r1(t)=(1, t), r2(t)= (2 t-1, t+2), r3(t)=(t, t^3), r4(t)=(cos t, 2 sen t), r5(t)=(sen t, sen^2 t), r6(t)=(cos t, sen t, 1), r7(t)= (t, 2-t, 2 t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar a curva que cada uma dessas funções vetoriais representa. Para isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, que nos ajudam a entender como curvas são descritas no plano ou no espaço. Vamos precisar analisar cada função vetorial e ver qual tipo de curva ela descreve, como uma reta, parábola, círculo, etc.

Passo 2

Vamos começar com a primeira função vetorial:
r1(t) = (1, t)
Aqui, nos dá as coordenadas e em termos de . Para identificar a curva, vamos eliminar o parâmetro .
Sabemos que e . Isso significa que é sempre 1, independente do valor de .

Passo 3

Isso indica que a curva é uma reta vertical no ponto . Em Geometria Analítica, uma reta vertical tem a equação , onde é uma constante. No nosso caso, .

Passo 4

Agora, vamos para a segunda função vetorial:
r2(t) = (2t - 1, t + 2)
Novamente, temos e . Vamos eliminar para encontrar a relação entre e .

Passo 5

Da equação x = 2(y - 2) - 1 = 2y - 4 - 1 = 2y - 5 , podemos expressar . Substituindo esse valor na equação de :

Passo 6

Rearranjando para isolar 2y = x + 5 implies y = x2 + 52 :
Isso é a equação de uma reta, na forma , onde e .

Passo 7

Vamos para a terceira função vetorial:
r3(t) = (t, t^3)
Aqui, e . Vamos relacionar e .

Passo 8

Como y = x^3 , então . Substituindo na equação de :
Isso nos dá a equação de uma função cúbica, que é uma curva conhecida por ter um ponto de inflexão.

Passo 9

Agora, a quarta função vetorial:
Temos r4(t) = (cos t, 2 sen t) e . Vamos relacionar e sem o parâmetro .

Passo 10

Sabemos que . Vamos manipular as equações:
Substituindo na identidade trigonométrica:
x = cos t implies cos t = x y = 2 sen t implies sen t = y2

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por 4 para simplificar:
4x^2 + y^2 = 4
Esta é a equação de uma elipse, onde os coeficientes de e são diferentes, indicando alongamento em um dos eixos.

Passo 12

Passando para a quinta função vetorial:
Aqui, e . Vamos relacionar r5(t) = (sen t, sen^2 t) e .

Passo 13

Sabemos que , mas aqui vamos usar diretamente y = x^2 , já que .
Assim, substituindo na equação de :
Isso é a equação de uma parábola.

Passo 14

Agora, a sexta função vetorial:
Temos r6(t) = (cos t, sen t, 1) , , e . Vamos analisar a relação entre , e .

Passo 15

Da identidade trigonométrica , temos:
x^2 + y^2 = 1
Além disso, é uma constante. Portanto, a curva está no plano .

Passo 16

Assim, a curva descrita é um círculo de raio 1 no plano .

Passo 17

Por fim, a sétima função vetorial:
r7(t) = (t, 2 - t, 2t)
Aqui, , e . Vamos relacionar essas variáveis.

Passo 18

Da primeira equação, y = 2 - x z = 2x . Substituindo nas outras:

Passo 19

Podemos expressar y = 2 - z2 em termos de : . Substituindo na equação de :
Isso caracteriza uma reta no espaço tridimensional.

Resposta

As curvas identificadas para cada função vetorial são:
  1. → Reta vertical .
  2. → Reta .
  3. → Função cúbica .
  4. → Elipse .
  5. → Parábola .
  6. → Círculo de raio 1 no plano .
  7. → Reta no espaço tridimensional.

Exercícios relacionados