Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: R -> R.
f(x) = -chi(-1,0)(x) + 2 chi(0,1)(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Fourier da função . Estamos trabalhando com transformadas de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função multiplicada por uma exponencial complexa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . A função característica vale 1 quando está no intervalo e 0 caso contrário. Então, nossa função é igual a -1 no intervalo (-1,0), igual a 2 no intervalo (0,1) e zero em todos os outros lugares.

Passo 3

A transformada de Fourier de uma função é dada por:
Então, vamos dividir essa integral nos intervalos onde não é zero, ou seja, de -1 a 0 e de 0 a 1.

Passo 4

Vamos calcular a primeira parte da integral de -1 a 0:
Integrando, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda parte da integral de 0 a 1:
Integrando, temos:

Passo 6

Agora, somamos as duas partes que calculamos:
Podemos combinar os termos:

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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