Determine a transformada de Fourier das seguintes funções
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Fourier da função
. Estamos trabalhando com transformadas de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função multiplicada por uma exponencial complexa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. A função característica
vale 1 quando
está no intervalo
e 0 caso contrário. Então, nossa função
é igual a -1 no intervalo (-1,0), igual a 2 no intervalo (0,1) e zero em todos os outros lugares.
Passo 3
A transformada de Fourier de uma função
é dada por:
Então, vamos dividir essa integral nos intervalos onde
não é zero, ou seja, de -1 a 0 e de 0 a 1.
Passo 4
Vamos calcular a primeira parte da integral de -1 a 0:
Integrando, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda parte da integral de 0 a 1:
Integrando, temos:
Passo 6
Agora, somamos as duas partes que calculamos:
Podemos combinar os termos:
Resposta
A transformada de Fourier da função
é: