Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: R -> R.
f(x) = e^(-x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a transformada de Fourier da função . Esse problema está dentro do conteúdo de Transformadas de Fourier, que é uma ferramenta fundamental em análise de sinais e sistemas. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a definição da transformada de Fourier e conhecer a transformada de funções gaussianas, que têm uma forma especial e são bem comportadas nesse tipo de análise.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier para uma função :
No nosso caso, , então substituímos isso na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos combinar os expoentes:
Para facilitar a integração, completamos o quadrado no expoente. Vamos reescrever de forma que fique uma expressão quadrática completa:
Substituindo de volta na integral:
Sabemos que a integral de uma gaussiana pura . No nosso caso, apesar do deslocamento complexa , a integral continua valendo .

Resposta

Portanto, a transformada de Fourier da função é:

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