Determine a transformada de Fourier das seguintes funções
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a transformada de Fourier da função
. Esse problema está dentro do conteúdo de Transformadas de Fourier, que é uma ferramenta fundamental em análise de sinais e sistemas. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a definição da transformada de Fourier e conhecer a transformada de funções gaussianas, que têm uma forma especial e são bem comportadas nesse tipo de análise.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier para uma função
:
No nosso caso,
, então substituímos isso na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Podemos combinar os expoentes:
Para facilitar a integração, completamos o quadrado no expoente. Vamos reescrever
de forma que fique uma expressão quadrática completa:
Substituindo de volta na integral:
Sabemos que a integral de uma gaussiana pura
. No nosso caso, apesar do deslocamento complexa
, a integral continua valendo
.
Resposta
Portanto, a transformada de Fourier da função
é: