Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: R -> R.
f(x) = e^x * chi(-1, 1)(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Fourier da função . Isso significa que quando está entre -1 e 1, e caso contrário. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a Transformada de Fourier de funções que são nulas fora de um certo intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula geral é:
No nosso caso, como é zero fora de (-1, 1), o intervalo de integração vai de -1 a 1.

Passo 3

Vamos substituir a função na fórmula da Transformada de Fourier:
Aqui, simplificamos multiplica por resultando em :

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a . A integral de é , onde é uma constante. Aqui, :

Passo 5

Vamos calcular os limites da integral substituindo e :
Simplificando os expoentes:

Passo 6

Podemos fatorar e fora das exponenciais:
Para simplificar ainda mais, podemos escrever em termos de funções trigonométricas usando :

Passo 7

Simplificando o numerador:

Passo 8

Para finalizar, podemos deixar a expressão dessa forma ou separar a parte real e imaginária, dependendo do que for mais conveniente para a aplicação desejada. A Transformada de Fourier encontrada é:

Resposta

A Transformada de Fourier da função é:

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