Determine a transformada de Fourier das seguintes funções
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Fourier da função
. Isso significa que
quando
está entre -1 e 1, e
caso contrário. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a Transformada de Fourier de funções que são nulas fora de um certo intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Fourier. Ela transforma uma função no domínio do tempo (ou espaço) para o domínio da frequência. A fórmula geral é:
No nosso caso, como
é zero fora de (-1, 1), o intervalo de integração vai de -1 a 1.
Passo 3
Vamos substituir a função
na fórmula da Transformada de Fourier:
Aqui, simplificamos multiplica
por
resultando em
:
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
. A integral de
é
, onde
é uma constante. Aqui,
:
Passo 5
Vamos calcular os limites da integral substituindo
e
:
Simplificando os expoentes:
Passo 6
Podemos fatorar
e
fora das exponenciais:
Para simplificar ainda mais, podemos escrever em termos de funções trigonométricas usando
:
Passo 7
Simplificando o numerador:
Passo 8
Para finalizar, podemos deixar a expressão dessa forma ou separar a parte real e imaginária, dependendo do que for mais conveniente para a aplicação desejada. A Transformada de Fourier encontrada é:
Resposta
A Transformada de Fourier da função
é: