Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: R -> R.
f(x) = x * e^(-|x|)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a transformada de Fourier da função . Isso está no campo de análise de Fourier, que ajuda a transformar funções do domínio do tempo para o domínio das frequências. Pra resolver isso, vamos precisar da definição da transformada de Fourier e de algumas propriedades básicas de integrais envolvendo funções exponenciais e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier de uma função :
Aqui, representa a frequência.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função :
Essa integral pode ser dividida em duas partes, de a 0 e de 0 a , porque a função tem comportamentos diferentes nesses intervalos.

Passo 4

Vamos separar a integral:
Simplificando os expoentes:

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando pela primeira:
Fazendo a substituição , essa integral vira:
Sabemos que:
Então, nesse caso:

Passo 6

Agora, a segunda integral:
Usando a mesma fórmula:
Aqui, , então:

Passo 7

Agora, somamos as duas integrais:
Para simplificar, vamos calcular cada termo:
Expandindo os numeradores:
E o denominador:
Então:

Resposta

A transformada de Fourier da função é:

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