Determine a transformada de Fourier das seguintes funções
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a transformada de Fourier da função
. Isso está no campo de análise de Fourier, que ajuda a transformar funções do domínio do tempo para o domínio das frequências. Pra resolver isso, vamos precisar da definição da transformada de Fourier e de algumas propriedades básicas de integrais envolvendo funções exponenciais e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier de uma função
:
Aqui,
representa a frequência.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função
:
Essa integral pode ser dividida em duas partes, de
a 0 e de 0 a
, porque a função
tem comportamentos diferentes nesses intervalos.
Passo 4
Vamos separar a integral:
Simplificando os expoentes:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente. Começando pela primeira:
Fazendo a substituição
, essa integral vira:
Sabemos que:
Então, nesse caso:
Passo 6
Agora, a segunda integral:
Usando a mesma fórmula:
Aqui,
, então:
Passo 7
Agora, somamos as duas integrais:
Para simplificar, vamos calcular cada termo:
Expandindo os numeradores:
E o denominador:
Então:
Resposta
A transformada de Fourier da função
é: