Determine a transformada de Fourier das seguintes funções f: R -> R.
f(x) = { sen(a x) para 0 <= x <= pi, 0 caso contrário }á

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a transformada de Fourier de uma função que é igual a quando e zero em qualquer outro lugar. Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para decompor funções em suas componentes de frequência. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição da transformada de Fourier e calcular a integral correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Fourier para uma função . A transformada de Fourier, denotada por ou , é dada por:
No nosso caso, é não zero apenas entre e , então podemos simplificar os limites da integral:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa integral. É uma integral de um produto de funções seno e exponencial complexa. Para facilitar, podemos usar a identidade de Euler para expressar o seno em termos de exponenciais:
Substituindo isso na integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de em relação a é , onde é uma constante. Aplicando isso:
Simplificando os sinais:

Passo 5

Vamos simplificar mais um pouco. Lembre-se que , então:
Multiplicando numerador e denominador por :

Passo 6

Podemos deixar a expressão mais compacta utilizando senos e cossenos, mas essa forma já nos dá a transformada de Fourier da função . Dependendo do contexto, podemos simplificar ainda mais ou deixar a resposta nessa forma.

Resposta

A transformada de Fourier da função é dada por:

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