Determine a transformada de Fourier das seguintes funções
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a transformada de Fourier de uma função
que é igual a
quando
e zero em qualquer outro lugar. Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Fourier, que é uma ferramenta matemática usada para decompor funções em suas componentes de frequência. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição da transformada de Fourier e calcular a integral correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Fourier para uma função
. A transformada de Fourier, denotada por
ou
, é dada por:
No nosso caso,
é não zero apenas entre
e
, então podemos simplificar os limites da integral:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa integral. É uma integral de um produto de funções seno e exponencial complexa. Para facilitar, podemos usar a identidade de Euler para expressar o seno em termos de exponenciais:
Substituindo isso na integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral de
em relação a
é
, onde
é uma constante. Aplicando isso:
Simplificando os sinais:
Passo 5
Vamos simplificar mais um pouco. Lembre-se que
, então:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 6
Podemos deixar a expressão mais compacta utilizando senos e cossenos, mas essa forma já nos dá a transformada de Fourier da função
. Dependendo do contexto, podemos simplificar ainda mais ou deixar a resposta nessa forma.
Resposta
A transformada de Fourier da função
é dada por: