Determine a transformada inversa de

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada inversa de . Isso está relacionado ao conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente a parte que lida com transformadas inversas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para que ela fique no formato conhecido de alguma transformada inversa básica, como a da função seno ou cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da função . Temos . A gente pode completar o quadrado para facilitar a identificação da forma da transformada inversa. Completar o quadrado significa reescrever o polinômio de segundo grau de uma maneira que envolva um quadrado perfeito.
Então, vamos completar o quadrado para :

Passo 3

Agora que temos o denominador no formato , a função fica assim:
Isso se parece muito com a forma da transformada de Laplace da função seno ou cosseno. A transformada inversa que a gente vai usar é:

Passo 4

Comparando as duas expressões, vemos que:
  • (porque está em )
  • (porque está em )
Mas na nossa função , o numerador é 15, e na fórmula da transformada inversa básica, o numerador é apenas . Para igualar as duas, a gente pode fatorar o 15 da seguinte maneira:

Passo 5

Agora, a expressão ficou:
Seguindo a fórmula da transformada inversa que mencionamos, a gente tem:
Multiplicando pelo 5 que fatoramos anteriormente, a transformada inversa completa será:

Resposta

A transformada inversa de é .

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