Determine a Transformada Inversa de Laplace das seguintes funções: F(s) = (s^2 + 1) / (s^2 * (s + 2))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a Transformada Inversa de Laplace da função .
Conteúdo da matéria: Transformada de Laplace e sua inversa, especialmente usando frações parciais para decompor funções racionais.
O que vamos precisar:
  • Entender o conceito de Transformada de Laplace e sua inversa.
  • Saber como decompor frações racionais usando frações parciais.
  • Conhecer as tabelas de transformadas inversas de funções básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de forma que possamos decompor em frações parciais. Isso facilita a aplicação da transformada inversa.
A fragilidade da decomposição em frações parciais nos ajuda a separar a função em termos mais simples que correspondem a transformadas inversas conhecidas.

Passo 3

Vamos decompor em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, expandimos e simplificamos a equação:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:
  1. Coeficiente de :
  1. Coeficiente de :
  1. Termo constante:

Passo 6

Resolvemos o sistema de equações:
Primeiro, da terceira equação:
Segundo, da segunda equação:
Terceiro, da primeira equação:

Passo 7

Substituímos os valores de , e na decomposição inicial:
Podemos simplificar:

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:

Resposta

A Transformada Inversa de Laplace de é:

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