Determine a Transformada Inversa de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a Transformada Inversa de Laplace da função
.
Conteúdo da matéria: Transformada de Laplace e sua inversa, especialmente usando frações parciais para decompor funções racionais.
O que vamos precisar:
- Entender o conceito de Transformada de Laplace e sua inversa.
- Saber como decompor frações racionais usando frações parciais.
- Conhecer as tabelas de transformadas inversas de funções básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de forma que possamos decompor em frações parciais. Isso facilita a aplicação da transformada inversa.
A fragilidade da decomposição em frações parciais nos ajuda a separar a função em termos mais simples que correspondem a transformadas inversas conhecidas.
Passo 3
Vamos decompor
em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Agora, expandimos e simplificamos a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados da equação:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Passo 6
Resolvemos o sistema de equações:
Primeiro, da terceira equação:
Segundo, da segunda equação:
Terceiro, da primeira equação:
Passo 7
Substituímos os valores de
,
e
na decomposição inicial:
Podemos simplificar:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
A Transformada Inversa de Laplace de
é:
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Os resultados advindos da filtração realizada em um filtro prensa com placas de
são apresentados na tabela abaixo. Utilizou-se uma lama advinda da sedimentação de uma suspensão de carbonato de cálcio, a qual continha
de carbonato para cada
. Sabendo que
, pede-se
valor da resistência específica da torta e do meio filtrante para 3,5 atm.
tempo (s) | kg de filtrado |
---|---|
26 | 2270 |
98 | 4540 |
211 | 6810 |
361 | 9080 |
555 | 11350 |
788 | 13620 |
1083 | 15890 |
Resposta:
.