Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função .
Aqui, estamos lidando com Transformadas de Laplace, que são usadas para transformar funções no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo. Vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de funções exponenciais e cosseno, além de como lidar com o deslocamento de fase.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Transformada de Laplace para uma função do tipo :
No nosso caso, e . Mas temos um deslocamento de fase no cosseno, , que vamos precisar tratar.

Passo 3

Para lidar com a fase no cosseno, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona o cosseno com fase a uma combinação de cosseno e seno:
Onde . Primeiro, precisamos converter esse ângulo para radianos:

Passo 4

Agora, aplicando a identidade:
Vamos calcular os valores de e :
Então:

Passo 5

Agora, substituímos de volta na função :
Agora, podemos separar a Transformada de Laplace usando a propriedade da linearidade:

Passo 6

Usando as fórmulas da Transformada de Laplace:
Substituindo e :

Passo 7

Agora, vamos simplificar:
Podemos fatorar 8 no numerador:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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