Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função
.
Aqui, estamos lidando com Transformadas de Laplace, que são usadas para transformar funções no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo. Vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de funções exponenciais e cosseno, além de como lidar com o deslocamento de fase.
Aqui, estamos lidando com Transformadas de Laplace, que são usadas para transformar funções no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo. Vamos precisar conhecer as propriedades das transformadas de funções exponenciais e cosseno, além de como lidar com o deslocamento de fase.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da Transformada de Laplace para uma função do tipo
:
No nosso caso,
e
. Mas temos um deslocamento de fase no cosseno,
, que vamos precisar tratar.
Passo 3
Para lidar com a fase no cosseno, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona o cosseno com fase a uma combinação de cosseno e seno:
Onde
. Primeiro, precisamos converter esse ângulo para radianos:
Passo 4
Agora, aplicando a identidade:
Vamos calcular os valores de
e
:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na função
:
Agora, podemos separar a Transformada de Laplace usando a propriedade da linearidade:
Passo 6
Usando as fórmulas da Transformada de Laplace:
Substituindo
e
:
Passo 7
Agora, vamos simplificar:
Podemos fatorar 8 no numerador:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é:
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