Determine a Transformada Inversa de Laplace (TIL) das seguintes funções no domínio s :
F(s) = (s + 1) / (s^2 - 2s + 5) Resp: f(t) = e^t (cos(2t) + sen(2t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a Transformada Inversa de Laplace da função . Estamos trabalhando com o conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente a inversa. Para resolver isso, vamos precisar manipular a fração algébrica e usar as tabelas de transformadas para encontrar a função no tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o denominador da fração: . Para facilitar a transformação inversa, vamos completar o quadrado nesse polinômio. Completando o quadrado, temos:
Isso nos ajuda a identificar a forma padrão que corresponde às funções de exponenciais multiplicadas por senos e cossenos na Transformada Inversa de Laplace.

Passo 3

Agora, reescrevemos a função com o denominador completado:
Podemos separar o numerador para que fique alinhado com as formas conhecidas das tabelas de transformadas:

Passo 4

Agora, identificamos duas partes que correspondem a transformadas conhecidas:
  1. corresponde a , onde e .
  2. corresponde a , onde e .

Passo 5

Aplicando as transformadas inversas, temos:

Resposta

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