Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
2s^2(s+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso significa que queremos descobrir qual função no domínio do tempo corresponde a essa expressão no domínio de . Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que permite decompor a expressão em partes mais simples que temos regras conhecidas para transformar de volta para o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função 2s^2(s+2) = As + Bs^2 + Cs+2 em frações parciais. Queremos escrevê-la como uma soma de termos mais simples na forma:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de 2 = A cdot s(s+2) + B cdot (s+2) + C cdot s^2 , 2 = A cdot 0 cdot 2 + B cdot 2 + C cdot 0 2 = 2B B = 1 e 2 = A cdot (-2) cdot 0 + B cdot 0 + C cdot (-2)^2 2 = 4C C = 12 , vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2 = A cdot 1 cdot 3 + 1 cdot 3 + 12 cdot 1 2 = 3A + 3 + 0.5 3A = 2 - 3 - 0.5 3A = -1.5 A = -0.5 para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores estratégicos para que simplificam a equação:
  1. Quando :
  1. Quando :
  1. Escolhendo outro valor para , por exemplo, :

Passo 4

Agora que temos os valores de 2s^2(s+2) = -0.5s + 1s^2 + 0.5s+2 , e , podemos reescrever a decomposição das frações parciais:

Passo 5

Por fim, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo individualmente. Sabemos que:
  • L^-1-0.5s = -0.5 L^-11s^2 = t L^-10.5s+2 = 0.5 e^-2t
Aplicando isso aos nossos termos:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:
f(t) = t + 0.5, e^-2t - 0.5

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