Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. Isso significa que queremos descobrir qual função no domínio do tempo corresponde a essa expressão no domínio de
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que permite decompor a expressão em partes mais simples que temos regras conhecidas para transformar de volta para o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função
em frações parciais. Queremos escrevê-la como uma soma de termos mais simples na forma:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores estratégicos para
que simplificam a equação:
- Quando
:
- Quando
:
- Escolhendo outro valor para
, por exemplo, :
Passo 4
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever a decomposição das frações parciais:
Passo 5
Por fim, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo individualmente. Sabemos que:
Aplicando isso aos nossos termos:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é: