Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Passo 1
Vamos resolver a transformada inversa de Laplace unilateral da função:
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, uma ferramenta fundamental para resolver equações diferenciais. Para encontrar a transformada inversa, vamos precisar decompor a fração em termos mais simples usando frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. A ideia é escrever a função original como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de transformar inversamente. Nossa função é:
Vamos supor que ela pode ser escrita como:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de A, B, C e D. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar os denominadores:
Expandindo e igualando os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados, podemos resolver para A, B, C e D.
Passo 4
Vamos escolher valores específicos de
para simplificar a resolução:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Para encontrar
e
, podemos expandir a equação original:
Explicando cada termo:
-
e são os termos que já encontramos. -
é a parte que precisamos determinar.
Após expandir e igualar os coeficientes dos termos de
, resolvemos para
e
e encontramos:
Passo 6
Agora que temos todos os valores, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 7
Vamos proceder com a transformada inversa de cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, reescrevemos o numerador para se ajustar às formas conhecidas:
Simplificando:
Agora, aplicando a transformada inversa:
Resposta
A transformada inversa de Laplace é: