Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:

Passo 1

Vamos resolver a transformada inversa de Laplace unilateral da função:
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, uma ferramenta fundamental para resolver equações diferenciais. Para encontrar a transformada inversa, vamos precisar decompor a fração em termos mais simples usando frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. A ideia é escrever a função original como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de transformar inversamente. Nossa função é:
Vamos supor que ela pode ser escrita como:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de A, B, C e D. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar os denominadores:
Expandindo e igualando os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados, podemos resolver para A, B, C e D.

Passo 4

Vamos escolher valores específicos de para simplificar a resolução:
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Para encontrar e , podemos expandir a equação original:
Explicando cada termo:
  • e são os termos que já encontramos.
  • é a parte que precisamos determinar.
Após expandir e igualar os coeficientes dos termos de , resolvemos para e e encontramos:

Passo 6

Agora que temos todos os valores, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 7

Vamos proceder com a transformada inversa de cada termo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, reescrevemos o numerador para se ajustar às formas conhecidas:
Simplificando:
Agora, aplicando a transformada inversa:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:

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