Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
s+1s(s+2)(s^2+4 s+5)

Passo 1

Vamos resolver a transformada inversa de Laplace unilateral da função:
s+1s(s+2)(s^2+4 s+5)
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, uma ferramenta fundamental para resolver equações diferenciais. Para encontrar a transformada inversa, vamos precisar decompor a fração em termos mais simples usando frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. A ideia é escrever a função original como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de transformar inversamente. Nossa função é:
s+1s(s+2)(s^2+4 s+5)
Vamos supor que ela pode ser escrita como:
As + Bs+2 + Cs + Ds^2+4s+5

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de A, B, C e D. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum s + 1 = A(s+2)(s^2+4s+5) + B s (s^2+4s+5) + (Cs + D)s(s+2) para eliminar os denominadores:
Expandindo e igualando os coeficientes dos termos correspondentes em ambos os lados, podemos resolver para A, B, C e D.

Passo 4

Vamos escolher valores específicos de 0 + 1 = A(0+2)(0+0+5) Rightarrow 1 = A cdot 2 cdot 5 Rightarrow A = 110 para simplificar a resolução:
  • Para -2 + 1 = B (-2)(4 - 8 + 5) Rightarrow -1 = B cdot (-2) cdot 1 Rightarrow B = 12 :
  • Para :

Passo 5

Para encontrar s + 1 = 110(s+2)(s^2+4s+5) + 12 s (s^2+4s+5) + (Cs + D)s(s+2) e C = 310, D = 15 , podemos expandir a equação original:
Explicando cada termo:
  • e são os termos que já encontramos.
  • é a parte que precisamos determinar.
Após expandir e igualar os coeficientes dos termos de , resolvemos para e e encontramos:

Passo 6

Agora que temos todos os valores, a decomposição em frações parciais fica:
s+1s(s+2)(s^2+4 s+5) = 110s + 12(s+2) + 310s + 15s^2+4s+5

Passo 7

Vamos proceder com a transformada inversa de cada termo:
  1. Para L^-1110s = 110 :
L^-112(s+2) = 12 e^-2t
  1. Para s^2+4s+5 = (s + 2)^2 + 1 :
310 cdot s + 2(s + 2)^2 + 1 + (15 - 310 cdot 2) cdot 1(s + 2)^2 + 1
  1. Para 310 cdot s + 2(s + 2)^2 + 1 - 110 cdot 1(s + 2)^2 + 1 :
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
310 e^-2t cos(t) - 110 e^-2t sin(t)
Então, reescrevemos o numerador para se ajustar às formas conhecidas:
Simplificando:
Agora, aplicando a transformada inversa:

Resposta

A transformada inversa de Laplace é:
L^-1s+1s(s+2)(s^2+4 s+5) = 110 + 12 e^-2t + 310 e^-2t cos(t) - 110 e^-2t sin(t)

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