Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
2 ss^2+5 s+6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso significa que queremos descobrir qual função no domínio do tempo corresponde a essa expressão no domínio de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre fatoração de polinômios, frações parciais e as próprias transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro passo é fatorar o denominador . Fatorar facilita muito na hora de trabalhar com frações parciais.
  • Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão 5. Esses números são 2 e 3.
  • Então, podemos escrever .

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos reescrever a fração original usando frações parciais. Isso ajuda a simplificar a expressão para que a gente consiga aplicar a transformada inversa de forma mais fácil.
2s(s + 2)(s + 3) = As + 2 + Bs + 3
Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de e .

Passo 4

Para encontrar 2s = A(s + 3) + B(s + 2) e , multiplicamos ambos os lados da equação pelos fatores que estavam no denominador:
Agora, a gente tem uma equação que vale para todos os valores de . Para facilitar, vamos escolher valores específicos de que vão eliminar uma das variáveis.

Passo 5

Vamos escolher 2(-3) = A(-3 + 3) + B(-3 + 2) Rightarrow -6 = 0 + B(-1) Rightarrow B = 6 e 2(-2) = A(-2 + 3) + B(-2 + 2) Rightarrow -4 = A(1) + 0 Rightarrow A = -4 para simplificar a equação:
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Com os valores de 2s(s + 2)(s + 3) = -4s + 2 + 6s + 3 e encontrados, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-11s + a = e^-a t
Aplicando isso:
L^-1-4s + 2 = -4 e^-2 t
L^-16s + 3 = 6 e^-3 t

Resposta

A transformada inversa de Laplace da função dada é:
f(t) = 6 e^-3 t - 4 e^-2 t

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