Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a transformada inversa de Laplace da função . Isso significa que queremos descobrir qual função no domínio do tempo corresponde a essa expressão no domínio de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre fatoração de polinômios, frações parciais e as próprias transformadas de Laplace.

Passo 2

Primeiro passo é fatorar o denominador . Fatorar facilita muito na hora de trabalhar com frações parciais.
  • Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão 5. Esses números são 2 e 3.
  • Então, podemos escrever .

Passo 3

Agora que temos o denominador fatorado, vamos reescrever a fração original usando frações parciais. Isso ajuda a simplificar a expressão para que a gente consiga aplicar a transformada inversa de forma mais fácil.
Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de e .

Passo 4

Para encontrar e , multiplicamos ambos os lados da equação pelos fatores que estavam no denominador:
Agora, a gente tem uma equação que vale para todos os valores de . Para facilitar, vamos escolher valores específicos de que vão eliminar uma das variáveis.

Passo 5

Vamos escolher e para simplificar a equação:
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Com os valores de e encontrados, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:

Resposta

A transformada inversa de Laplace da função dada é:

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