Determine a transformada inversa de Laplace (unilateral) das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a transformada inversa de Laplace da função
. Isso significa que queremos descobrir qual função no domínio do tempo corresponde a essa expressão no domínio de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre fatoração de polinômios, frações parciais e as próprias transformadas de Laplace.
Passo 2
Primeiro passo é fatorar o denominador
. Fatorar facilita muito na hora de trabalhar com frações parciais.
- Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão 5. Esses números são 2 e 3.
- Então, podemos escrever
.
Passo 3
Agora que temos o denominador fatorado, vamos reescrever a fração original usando frações parciais. Isso ajuda a simplificar a expressão para que a gente consiga aplicar a transformada inversa de forma mais fácil.
Nosso objetivo aqui é encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Para encontrar
e
, multiplicamos ambos os lados da equação pelos fatores que estavam no denominador:
Agora, a gente tem uma equação que vale para todos os valores de
. Para facilitar, vamos escolher valores específicos de
que vão eliminar uma das variáveis.
Passo 5
Vamos escolher
e
para simplificar a equação:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso:
Resposta
A transformada inversa de Laplace da função dada é: