Resolva a equação diferencial linear de 2^a ordem, não-homogênea
y'' + 4y = e^x - 2 sen(x) + x

Passo 1

Então, temos que resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem que não é homogênea. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares, soluções gerais e particulares, além de métodos para encontrar essas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a equação em duas partes: a equação homogênea associada e a parte não homogênea. A equação homogênea é:
Resolvendo essa, encontramos a solução geral da equação homogênea, que chamaremos de .

Passo 3

Para resolver a equação homogênea , encontramos as raízes da equação característica:
Essas raízes complexas indicam que a solução geral da homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Vamos fazer isso encontrando soluções particulares para cada termo do lado direito e somá-las:
  1. Para
  2. Para
  3. Para

Passo 5

a) Encontrando para :
Assumimos uma solução da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Então,

Passo 6

b) Encontrando para :
Assumimos uma solução da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então,

Passo 7

c) Encontrando para :
Assumimos uma solução da forma . Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então,

Passo 8

Agora, somamos todas as soluções particulares:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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