Resolva a equação diferencial linear de
ordem, não-homogênea
Passo 1
Então, temos que resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem que não é homogênea. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares, soluções gerais e particulares, além de métodos para encontrar essas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a equação em duas partes: a equação homogênea associada e a parte não homogênea. A equação homogênea é:
Resolvendo essa, encontramos a solução geral da equação homogênea, que chamaremos de
.
Passo 3
Para resolver a equação homogênea
, encontramos as raízes da equação característica:
Essas raízes complexas indicam que a solução geral da homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Vamos fazer isso encontrando soluções particulares para cada termo do lado direito e somá-las:
- Para
- Para
- Para
Passo 5
a) Encontrando
para
:
Assumimos uma solução da forma
. Derivando:
Substituindo na equação:
Então,
Passo 6
b) Encontrando
para
:
Assumimos uma solução da forma
. Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então,
Passo 7
c) Encontrando
para
:
Assumimos uma solução da forma
. Derivando:
Substituindo na equação:
Igualando os coeficientes:
Então,
Passo 8
Agora, somamos todas as soluções particulares:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: