Determine a transformada de Laplace inversa das funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a transformada de Laplace inversa da função
. Isso está dentro do conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente tratando de transformar funções do domínio
de volta para o domínio do tempo
. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração:
. Para simplificar, vamos completar o quadrado nessa expressão. Completar o quadrado ajuda a reescrever a expressão de uma forma que conhecemos a transformada inversa.
Passo 3
Para completar o quadrado de
, seguimos estes passos:
- Pegue o coeficiente de
, que é -4, divida por 2 e eleve ao quadrado: - Reescreva a expressão adicionando e subtraindo esse valor:
Então,
.
Passo 4
Agora, a função
fica:
Para facilitar a identificação com as transformadas conhecidas, vamos ajustar o numerador para que ele se pareça com a forma padrão
.
Passo 5
Observamos que:
Isso separa a fração em duas partes que podemos transformar individualmente.
Passo 6
Agora, vamos lembrar das transformadas de Laplace inversas básicas:
No nosso caso,
e
(porque
).
Passo 7
Aplicando essas transformadas à nossa função:
- Para
: - Para
:
Resposta
Então, a transformada de Laplace inversa de
é:
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Resolva os problemas de valor inicial:
, em que
Explique, usando os Teoremas 1 a 5 acima, por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga qual é o domínio.