Encontre um conjunto fundamental de soluções reais para os seguintes sistema abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O enunciado pede para encontrar um conjunto fundamental de soluções para o sistema:
Vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, para resolver isso. Precisaremos calcular os autovalores da matriz e, em seguida, encontrar os autovetores correspondentes para montar as soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, calculamos o determinante de
e igualamos a zero:
Calculando o determinante:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 4
Com os autovalores complexos, sabemos que as soluções terão a forma:
onde
e
, extraídas dos autovalores
. Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente a
.
Passo 5
Para encontrar o autovetor
, resolvemos
:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo a primeira equação para
:
Podemos escolher
para simplificar, então
.
Passo 6
Agora, montamos as soluções reais usando a parte real e imaginária do autovetor. A solução fundamental será:
Simplificando, temos duas soluções independentes que formam o conjunto fundamental.
Resposta
Um conjunto fundamental de soluções reais para o sistema é dado por:
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(Equação Exata)
.
Determine a transformada de Laplace inversa das funções
Resolva os problemas de valor inicial:
, em que