Encontre um conjunto fundamental de soluções reais para os seguintes sistema abaixo:
x' = (-1 -4; 1 -1) x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O enunciado pede para encontrar um conjunto fundamental de soluções para o sistema:
Vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores, para resolver isso. Precisaremos calcular os autovalores da matriz e, em seguida, encontrar os autovetores correspondentes para montar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Para isso, calculamos o determinante de e igualamos a zero:
Calculando o determinante:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Com os autovalores complexos, sabemos que as soluções terão a forma:
onde e , extraídas dos autovalores . Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente a .

Passo 5

Para encontrar o autovetor , resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo a primeira equação para :
Podemos escolher para simplificar, então .

Passo 6

Agora, montamos as soluções reais usando a parte real e imaginária do autovetor. A solução fundamental será:
Simplificando, temos duas soluções independentes que formam o conjunto fundamental.

Resposta

Um conjunto fundamental de soluções reais para o sistema é dado por:

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