y' + x^2 y = x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é: . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar o fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para que possamos encontrar a solução de .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação diferencial. Ela está na forma padrão de uma equação linear:

Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( ). O fator integrante é dado por:

Substituindo temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante para transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Então, podemos escrever:

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :

A integral do lado esquerdo simplifica para:

Passo 7

Observando a integral do lado direito, notamos que ela pode ser resolvida por substituição. Seja , então . Assim, a integral fica:

Passo 8

Substituindo de volta na equação, temos:

Passo 9

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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