Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é:
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar o fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para que possamos encontrar a solução de
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação diferencial. Ela está na forma padrão de uma equação linear:
Aqui,
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
). O fator integrante é dado por:
Substituindo
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
para transformar a equação em algo que podemos integrar facilmente:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Então, podemos escrever:
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo simplifica para:
Passo 7
Observando a integral do lado direito, notamos que ela pode ser resolvida por substituição. Seja
, então
. Assim, a integral fica:
Passo 8
Substituindo de volta na equação, temos:
Passo 9
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
(Equação Exata)
.
(Equação Separável)
.
Encontre um conjunto fundamental de soluções reais para os seguintes sistema abaixo:
Determine a transformada de Laplace inversa das funções