(a) lim x 0 raiz1+x-1-(x / 2)x^2
(b) lim x 0 xarctan (x)
© lim x 0^+(1+1x)^x
(d) lim x 0 8 x^2cos (x)-1
(e) lim x +infty raiz9 x+1raizx-1
(f) lim x -infty x^-2 e^-x^2
(g) lim x +infty ln (ln (x))ln x
(h) lim x 0 x cos (1x)
(i) lim x 0(cos x)^1 / x^2
(j) lim x 0^+ x^r ln (x), com r>0
(k) lim x +infty x^2 ln (x)
(1) lim x 0 tan (x)x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Estamos lidando com limites que envolvem funções radicais e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a expansão em série de Taylor para a raiz quadrada e simplificar a expressão passo a passo.

Passo 2

Vamos começar expandindo a expressão raiz1+x = 1 + x2 - x^28 + O(x^3) usando a série de Taylor em torno de . A expansão de é:
Aqui, representa termos de ordem superior que se tornam insignificantes quando se aproxima de 0.

Passo 3

Substituímos a expansão de raiz1+x - 1 - x2x^2 = (1 + x2 - x^28 + O(x^3)) - 1 - x2x^2 na expressão original:

Passo 4

Simplificamos o numerador:
1 + x2 - x^28 + O(x^3) - 1 - x2 = -x^28 + O(x^3)
Então, a expressão fica:
-x^28 + O(x^3)x^2

Passo 5

Dividimos cada termo do numerador por -18 + O(x) :
Quando se aproxima de 0, o termo tende a 0.

Passo 6

Portanto, o limite é:
-18

Resposta

lim x 0 raiz1+x-1-x2x^2 = -18

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