(a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que
(b) Use a parte (a) e a fórmula de redução para calcular
.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos duas partes no exercício:
(a) Precisamos mostrar que a integral de
em relação a
é igual a
. Para isso, vamos usar a fórmula de redução, que nos ajuda a simplificar integrais de potências de funções trigonométricas.
(b) Depois disso, vamos usar o resultado da parte (a) e novamente a fórmula de redução para calcular a integral de
em relação a
.
Vamos precisar das identidades trigonométricas e saber como aplicar a fórmula de redução passo a passo.
Passo 2
Começando pela parte (a), vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante para
:
Essa identidade nos ajuda a transformar a potência do seno em algo mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, substituímos
na integral usando a identidade acima:
Passo 4
Vamos integrar termo a termo:
- A integral de 1 em relação a
é simplesmente :
- A integral de
em relação a é :
Passo 5
Juntando os dois resultados, temos:
E isso resolve a parte (a)!
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b), onde queremos calcular
usando o que encontramos na parte (a) e a fórmula de redução.
Primeiro, vamos usar uma identidade para
. Sabemos que:
Passo 7
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver cada integral separadamente:
-
-
-
Para
, usamos a parte (a), substituindo por :
Então:
Passo 9
Agora, juntando todos os termos:
Simplificando: