(a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que
(b) Use a parte (a) e a fórmula de redução para calcular .
Passo 1
Então, vamos lá! Temos duas partes no exercício:
(a) Precisamos mostrar que a integral de em relação a é igual a . Para isso, vamos usar a fórmula de redução, que nos ajuda a simplificar integrais de potências de funções trigonométricas.
(b) Depois disso, vamos usar o resultado da parte (a) e novamente a fórmula de redução para calcular a integral de em relação a .
Vamos precisar das identidades trigonométricas e saber como aplicar a fórmula de redução passo a passo.
Passo 2
Começando pela parte (a), vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante para :
Essa identidade nos ajuda a transformar a potência do seno em algo mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, substituímos na integral usando a identidade acima:
Passo 4
Vamos integrar termo a termo:
A integral de 1 em relação a é simplesmente :
A integral de em relação a é :
Passo 5
Juntando os dois resultados, temos:
E isso resolve a parte (a)!
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b), onde queremos calcular usando o que encontramos na parte (a) e a fórmula de redução.
Primeiro, vamos usar uma identidade para . Sabemos que: