(a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que
integral sen^2 x d x=x2-sen 2 x4+C
(b) Use a parte (a) e a fórmula de redução para calcular integral sen^4 x d x.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos duas partes no exercício:
(a) Precisamos mostrar que a integral de em relação a é igual a . Para isso, vamos usar a fórmula de redução, que nos ajuda a simplificar integrais de potências de funções trigonométricas.
(b) Depois disso, vamos usar o resultado da parte (a) e novamente a fórmula de redução para calcular a integral de em relação a .
Vamos precisar das identidades trigonométricas e saber como aplicar a fórmula de redução passo a passo.

Passo 2

Começando pela parte (a), vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante para sen^2 x = 1 - cos 2x2 :
Essa identidade nos ajuda a transformar a potência do seno em algo mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, substituímos integral sen^2 x , dx = integral 1 - cos 2x2 , dx = 12 integral 1 , dx - 12 integral cos 2x , dx na integral usando a identidade acima:

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
  1. A integral de 1 em relação a 12 integral 1 , dx = x2 é simplesmente 12 integral cos 2x , dx = 12 cdot sen 2x2 = sen 2x4 :
  1. A integral de em relação a é :

Passo 5

Juntando os dois resultados, temos:
E isso resolve a parte (a)!

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), onde queremos calcular sen^4 x = ( sen^2 x )^2 = ( 1 - cos 2x2 )^2 = 1 - 2cos 2x + cos^2 2x4 usando o que encontramos na parte (a) e a fórmula de redução.
Primeiro, vamos usar uma identidade para . Sabemos que:

Passo 7

Então, a integral fica:
integral sen^4 x , dx = 14 integral (1 - 2cos 2x + cos^2 2x ) , dx = 14 integral 1 , dx - 24 integral cos 2x , dx + 14 integral cos^2 2x , dx

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. integral cos^2 2x , dx = 2x2 - sen 4x4 + C = x - sen 4x4
  2. Para 14 integral cos^2 2x , dx = 14 ( x - sen 4x4 ) = x4 - sen 4x16 , usamos a parte (a), substituindo por :
Então:

Passo 9

Agora, juntando todos os termos:
Simplificando:

Resposta

integral sen^4 x , dx = 3x8 - sen 2x4 - sen 4x16 + C

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