(a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que
(b) Use a parte (a) e a fórmula de redução para calcular .

Passo 1

Então, vamos lá! Temos duas partes no exercício:
(a) Precisamos mostrar que a integral de em relação a é igual a . Para isso, vamos usar a fórmula de redução, que nos ajuda a simplificar integrais de potências de funções trigonométricas.
(b) Depois disso, vamos usar o resultado da parte (a) e novamente a fórmula de redução para calcular a integral de em relação a .
Vamos precisar das identidades trigonométricas e saber como aplicar a fórmula de redução passo a passo.

Passo 2

Começando pela parte (a), vamos lembrar de uma identidade trigonométrica importante para :
Essa identidade nos ajuda a transformar a potência do seno em algo mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, substituímos na integral usando a identidade acima:

Passo 4

Vamos integrar termo a termo:
  1. A integral de 1 em relação a é simplesmente :
  1. A integral de em relação a é :

Passo 5

Juntando os dois resultados, temos:
E isso resolve a parte (a)!

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b), onde queremos calcular usando o que encontramos na parte (a) e a fórmula de redução.
Primeiro, vamos usar uma identidade para . Sabemos que:

Passo 7

Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente:
  1. Para , usamos a parte (a), substituindo por :
Então:

Passo 9

Agora, juntando todos os termos:
Simplificando:

Resposta

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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral:
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(h)
R.:
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(d) ,
R.: ,
Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
©
R.: e