Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral: integral sen(ln x) d x

Passo 1

Então, temos que resolver a integral . Esse exercício envolve técnicas de integração, especificamente substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição adequada e, em seguida, usar a integração por partes para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja dt = 1x , dx Rightarrow dx = x , dt . Precisamos expressar dx = e^t , dt em termos de integral sen(ln x) , dx = integral sen(t) cdot e^t , dt .
Sabemos que:
Como , então . Substituindo na expressão de :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral integral u , dv = u cdot v - integral v , du usando a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
u = sen(t) Rightarrow du = cos(t) , dt
Escolhemos:
dv = e^t , dt Rightarrow v = e^t
integral sen(t) cdot e^t , dt = sen(t) cdot e^t - integral e^t cdot cos(t) , dt
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral u = cos(t) Rightarrow du = -sen(t) , dt . Vamos aplicar novamente a integração por partes:
Escolhemos:
dv = e^t , dt Rightarrow v = e^t
integral e^t cdot cos(t) , dt = cos(t) cdot e^t - integral e^t cdot (-sen(t)) , dt
Aplicando a fórmula:
integral e^t cdot cos(t) , dt = e^t cdot cos(t) + integral e^t cdot sen(t) , dt
Simplificando:
I = integral e^t cdot sen(t) , dt
Observe que retornamos à integral original I = sen(t) cdot e^t - ( e^t cdot cos(t) + I ) . Vamos chamar essa integral de I = e^t (sen(t) - cos(t)) - I :
2I = e^t (sen(t) - cos(t))
Então, temos:
I = e^t (sen(t) - cos(t))2
Resolvendo para :

Passo 5

Voltando à variável original integral sen(ln x) , dx = x (sen(ln x) - cos(ln x))2 + C , lembramos que e . Substituindo na expressão de :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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