Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral:
Passo 1
Então, temos que resolver a integral
. Esse exercício envolve técnicas de integração, especificamente substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição adequada e, em seguida, usar a integração por partes para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
. Precisamos expressar
em termos de
.
Sabemos que:
Como
, então
. Substituindo na expressão de
:
Agora, substituímos
e
na integral original:
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral
usando a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a nova integral
. Vamos aplicar novamente a integração por partes:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Observe que retornamos à integral original
. Vamos chamar essa integral de
:
Então, temos:
Resolvendo para
:
Passo 5
Voltando à variável original
, lembramos que
e
. Substituindo na expressão de
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(h)
R.:
(h)
R.:
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(b)
R.:
(b)
R.:
(a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que
(b) Use a parte (a) e a fórmula de redução para calcular
.
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(d) ,
R.: ,
(d)
R.: