Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral:

Passo 1

Então, temos que resolver a integral . Esse exercício envolve técnicas de integração, especificamente substituição e integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição adequada e, em seguida, usar a integração por partes para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja . Precisamos expressar em termos de .
Sabemos que:
Como , então . Substituindo na expressão de :
Agora, substituímos e na integral original:

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:

Passo 4

Agora, precisamos resolver a nova integral . Vamos aplicar novamente a integração por partes:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Observe que retornamos à integral original . Vamos chamar essa integral de :
Então, temos:
Resolvendo para :

Passo 5

Voltando à variável original , lembramos que e . Substituindo na expressão de :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

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Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(h)
R.:
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(b)
R.:
(a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que
(b) Use a parte (a) e a fórmula de redução para calcular .
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(d) ,
R.: ,