Determine a transformada de Laplace de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace de
. Isso envolve conceitos da Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar a transformada em funções que são produtos de polinômios e funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função
. A função seno hiperbólico é definida por:
É uma função similar ao seno tradicional, mas para funções hiperbólicas, que aparece muito em problemas de engenharia e matemática.
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula da Transformada de Laplace para
. Em geral, temos:
Isso significa que para encontrar a transformada de Laplace de
, precisamos calcular a segunda derivada da transformada de
com respeito a
, multiplicada por
.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar
. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula que mencionamos no Passo 3:
Vamos calcular a primeira derivada:
E agora a segunda derivada:
Simplificando:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
:
Seja C definido por
. Calcule a integral
. Justifique sua resposta
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.