Determine a transformada de Laplace de:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace de . Isso envolve conceitos da Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar a transformada em funções que são produtos de polinômios e funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função . A função seno hiperbólico é definida por:
É uma função similar ao seno tradicional, mas para funções hiperbólicas, que aparece muito em problemas de engenharia e matemática.

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da Transformada de Laplace para . Em geral, temos:
Isso significa que para encontrar a transformada de Laplace de , precisamos calcular a segunda derivada da transformada de com respeito a , multiplicada por .

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar . Sabemos que:
No nosso caso, , então:

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula que mencionamos no Passo 3:
Vamos calcular a primeira derivada:
E agora a segunda derivada:
Simplificando:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
:
Seja C definido por . Calcule a integral . Justifique sua resposta
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.