Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
ointC 2 zz^2+3 d z ;: |z-2 i|=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de uma função complexa no contorno fechado , que é o círculo definido por . O conteúdo envolvido aqui é a análise complexa, especificamente o teorema dos resíduos que nos ajuda a calcular integrais de funções racionais sobre caminhos fechados.
Para resolver isso, vamos precisar identificar os polos da função que estão dentro do contorno e então aplicar o teorema dos resíduos para encontrar o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde estão os polos da função z^2 + 3 = 0 implies z^2 = -3 implies z = pm iraiz3 . Os polos são os valores de que fazem o denominador zero:
Então, os polos são e .

Passo 3

Agora, vamos ver quais desses polos estão dentro do contorno |iraiz3 - 2i| = |i(raiz3 - 2)| = |raiz3 - 2| approx |1.732 - 2| = 0.268 , que é o círculo de raio 1 centrado em |-iraiz3 - 2i| = | -i(raiz3 + 2)| = raiz3 + 2 approx 1.732 + 2 = 3.732 .
Vamos calcular a distância de cada polo até o centro :
Para :
Para :
Como o raio do círculo é 1, apenas o polo está dentro de (pois 0.268 < 1), enquanto está fora.

Passo 4

Agora que sabemos que apenas Res(f, z0) = f(z0)g'(z0) está dentro do contorno, vamos calcular o resíduo dessa função nesse ponto.
Para uma função da forma g'(z) = 2z , onde Res(2zz^2 + 3, iraiz3) = 2iraiz32iraiz3 = 1 tem uma raiz simples em , o resíduo é dado por:
Nossa função é , então e . Derivando :
Então, o resíduo em é:

Passo 5

Com o resíduo calculado, podemos aplicar o teorema dos resíduos, que diz que a integral de uma função ao redor de um contorno fechado é igual a ointC 2zz^2 + 3 , dz = 2pi i times 1 = 2pi i vezes a soma dos resíduos dentro desse contorno.
Como temos apenas um resíduo igual a 1 dentro de :

Resposta

A integral no contorno fechado é igual a .

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