Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de uma função complexa no contorno fechado
, que é o círculo definido por
. O conteúdo envolvido aqui é a análise complexa, especificamente o teorema dos resíduos que nos ajuda a calcular integrais de funções racionais sobre caminhos fechados.
Para resolver isso, vamos precisar identificar os polos da função que estão dentro do contorno
e então aplicar o teorema dos resíduos para encontrar o valor da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde estão os polos da função
. Os polos são os valores de
que fazem o denominador zero:
Então, os polos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos ver quais desses polos estão dentro do contorno
, que é o círculo de raio 1 centrado em
.
Vamos calcular a distância de cada polo até o centro
:
Para
:
Para
:
Como o raio do círculo
é 1, apenas o polo
está dentro de
(pois 0.268 < 1), enquanto
está fora.
Passo 4
Agora que sabemos que apenas
está dentro do contorno, vamos calcular o resíduo dessa função nesse ponto.
Para uma função da forma
, onde
tem uma raiz simples em
, o resíduo é dado por:
Nossa função é
, então
e
. Derivando
:
Então, o resíduo em
é:
Passo 5
Com o resíduo calculado, podemos aplicar o teorema dos resíduos, que diz que a integral de uma função ao redor de um contorno fechado é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro desse contorno.
Como temos apenas um resíduo igual a 1 dentro de
:
Resposta
A integral no contorno fechado
é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja C definido por
. Calcule a integral
. Justifique sua resposta
Seja C definido por uma reta de
até
. Calcule a integral
. Justifique sua resposta.
Determine a transformada de Laplace de:
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.