Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
ointC(3z+2-1z-2 i) d z ;: |z-2 i|=12

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral de contorno fechado da função onde o contorno é um círculo definido por .
Isso está relacionado ao estudo de integrais no plano complexo, especificamente usando o Teorema de Cauchy e o Teorema dos Resíduos. Para resolver, precisamos identificar os polos (singularidades) da função dentro do contorno e aplicar os teoremas apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função tem singularidades. As singularidades ocorrem onde o denominador é zero:
  1. Para , a singularidade está em .
  2. Para , a singularidade está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do contorno . O contorno é um círculo centrado em com raio .
  • A distância de ao centro é , que é maior que . Então, está fora de .
  • A singularidade está exatamente no centro de , então está dentro do contorno.

Passo 4

Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de uma função ao redor de um contorno fechado é igual a vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro desse contorno. Como apenas está dentro de , precisamos calcular o resíduo dessa singularidade.

Passo 5

Vamos calcular o resíduo na singularidade :
A função não tem singularidade em , então seu resíduo nesse ponto é zero.
A função tem uma singularidade simples em . O resíduo dessa função é o coeficiente do termo , que é .

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos:
ointC(3z+2 - 1z-2i) dz = 2pi i times (Resíduo em z=2i) = 2pi i times (-1) = -2pi i í

Resposta

A integral vale .

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