Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral de contorno fechado
da função
onde o contorno
é um círculo definido por
.
Isso está relacionado ao estudo de integrais no plano complexo, especificamente usando o Teorema de Cauchy e o Teorema dos Resíduos. Para resolver, precisamos identificar os polos (singularidades) da função dentro do contorno
e aplicar os teoremas apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
tem singularidades. As singularidades ocorrem onde o denominador é zero:
- Para
, a singularidade está em . - Para
, a singularidade está em .
Passo 3
Agora, vamos verificar quais dessas singularidades estão dentro do contorno
. O contorno
é um círculo centrado em
com raio
.
- A distância de
ao centro é , que é maior que . Então, está fora de . - A singularidade
está exatamente no centro de , então está dentro do contorno.
Passo 4
Segundo o Teorema dos Resíduos, a integral de uma função ao redor de um contorno fechado é igual a
vezes a soma dos resíduos das singularidades dentro desse contorno. Como apenas
está dentro de
, precisamos calcular o resíduo dessa singularidade.
Passo 5
Vamos calcular o resíduo na singularidade
:
A função
não tem singularidade em
, então seu resíduo nesse ponto é zero.
A função
tem uma singularidade simples em
. O resíduo dessa função é o coeficiente do termo
, que é
.
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Determine a transformada de Laplace de:
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
:
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
Usando a regra de L(a)
.
(b) .
(b)