Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que está no enunciado. A gente precisa calcular a integral de contorno fechada da função ao longo do caminho onde . Para isso, vamos usar a Teoria dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa em análise complexa para resolver integrais ao longo de contornos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pólos da função, ou seja, os valores de que tornam o denominador zero. Isso nos ajuda a saber onde estão as singularidades da função.
O denominador é . Vamos fatorar:
Então, os pólos estão em e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses pólos estão dentro do contorno , que é o círculo de raio 9 centrado na origem ( ).
Como e , os pólos e estão dentro do contorno.

Passo 4

Vamos calcular o resíduo da função em cada pólo. O resíduo é essencial para aplicar a Teoria dos Resíduos.
Para um pólo simples, o resíduo em é dado por:
Para :
Substituindo :
Para :
Substituindo :

Passo 5

Agora, aplicamos a Teoria dos Resíduos, que nos diz que a integral ao longo de um contorno fechado é vezes a soma dos resíduos dentro do contorno.

Resposta

Exercícios relacionados

Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
Determine a transformada de Laplace de:
Usando a regra de L(a) .
(b) .
Verifique se os campos abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.