Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que está no enunciado. A gente precisa calcular a integral de contorno fechada da função
ao longo do caminho
onde
. Para isso, vamos usar a Teoria dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa em análise complexa para resolver integrais ao longo de contornos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pólos da função, ou seja, os valores de
que tornam o denominador zero. Isso nos ajuda a saber onde estão as singularidades da função.
O denominador é
. Vamos fatorar:
Então, os pólos estão em
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esses pólos estão dentro do contorno
, que é o círculo de raio 9 centrado na origem (
).
Como
e
, os pólos
e
estão dentro do contorno.
Passo 4
Vamos calcular o resíduo da função em cada pólo. O resíduo é essencial para aplicar a Teoria dos Resíduos.
Para um pólo simples, o resíduo em
é dado por:
Para
:
Substituindo
:
Para
:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, aplicamos a Teoria dos Resíduos, que nos diz que a integral ao longo de um contorno fechado é
vezes a soma dos resíduos dentro do contorno.
Resposta
Exercícios relacionados
Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
Determine a transformada de Laplace de:
Usando a regra de L(a)
.
(b) .
(b)
Verifique se os campos
abaixo são conservativos. Em caso afirmativo, determine um potencial do qual ele deriva.