Nas questões de 15 a 17, calcule a integral no contorno fechado C indicado.
ointC -3 z+2z^2-8 z+12 d z ;: |z|=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que está no enunciado. A gente precisa calcular a integral de contorno fechada da função ao longo do caminho onde . Para isso, vamos usar a Teoria dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa em análise complexa para resolver integrais ao longo de contornos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pólos da função, ou seja, os valores de z^2 - 8z + 12 = (z - 2)(z - 6) que tornam o denominador zero. Isso nos ajuda a saber onde estão as singularidades da função.
O denominador é . Vamos fatorar:
Então, os pólos estão em e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esses pólos estão dentro do contorno , que é o círculo de raio 9 centrado na origem ( ).
Como e , os pólos e estão dentro do contorno.

Passo 4

Vamos calcular o resíduo da função em cada pólo. O resíduo é essencial para aplicar a Teoria dos Resíduos.
Para um pólo simples, o resíduo em Res(f, a) = limz to a (z - a)f(z) é dado por:
Res(-3z + 2(z - 2)(z - 6), 2) = limz to 2 (z - 2) cdot -3z + 2(z - 2)(z - 6) = limz to 2 -3z + 2z - 6
Para -3(2) + 22 - 6 = -6 + 2-4 = -4-4 = 1 :
Res(-3z + 2(z - 2)(z - 6), 6) = limz to 6 (z - 6) cdot -3z + 2(z - 2)(z - 6) = limz to 6 -3z + 2z - 2
Substituindo -3(6) + 26 - 2 = -18 + 24 = -164 = -4 :
Para :
Substituindo :

Passo 5

Agora, aplicamos a Teoria dos Resíduos, que nos diz que a integral ao longo de um contorno fechado é ointC -3z + 2z^2 - 8z + 12 , dz = 2pi i ( Res(f, 2) + Res(f, 6) ) = 2pi i (1 + (-4)) = 2pi i (-3) = -6pi i vezes a soma dos resíduos dentro do contorno.

Resposta

-6,pi,i

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