Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(g) g(x) = (e^(2x) + 1)^(2)
R.: G(s) = 1/s + 2/(s-2) + 1/(s-4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a Transformada de Laplace da função . Estamos lidando com Transformadas de Laplace aqui, então vamos precisar conhecer um pouco sobre propriedades dessa ferramenta matemática que ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Para isso, a gente vai expandir o quadrado:
Assim, a função fica mais fácil de trabalhar para aplicar a Transformada de Laplace.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a Transformada de Laplace de uma soma de funções é igual à soma das Transformadas de cada função. Ou seja:
Portanto, vamos aplicar a Transformada de Laplace para cada termo da nossa função expandida.

Passo 4

Vamos calcular a Transformada de Laplace de cada termo individualmente:
  1. Transformada de :
    Isso porque, em geral, .
  2. Transformada de :
    Aqui, aplicamos a mesma regra de antes, lembrando de multiplicar pelo coeficiente 2.
  3. Transformada de :
    A Transformada de Laplace de uma constante 1 é .

Passo 5

Agora, somando todas as Transformadas que calculamos:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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