Mostre que se f é seccionalmente contínua e de ordem exponencial com L(f(t))=F(s) então L(integral0^infty f(tau) d tau)=1s F(s), ou seja, integral0^infty f(tau) d tau=L^-1(1s F(s)).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma geral no que a questão está pedindo. A gente tem uma função L(integral0^infty f(tau) dtau) = 1s F(s) que é seccionalmente contínua e de ordem exponencial. A Transformada de Laplace dessa função é integral0^infty f(tau) dtau = L^-1(1s F(s)) . O exercício quer que a gente mostre que:
Ou seja,
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a Transformada de Laplace, propriedades dela, e como ela interage com integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. É uma ferramenta que transforma uma função do tempo L(f(t)) = F(s) = integral0^infty f(t) e^-st dt em uma função do domínio complexo . A definição é:
Isso ajuda a resolver equações diferenciais e integrais de forma mais simples.

Passo 3

Agora, queremos aplicar a Transformada de Laplace à integral de A = integral0^infty f(tau) dtau de 0 a infinito. Vamos chamar essa integral de :
Nossa meta é encontrar e relacionar com .

Passo 4

Observa que L(C) = Cs é uma constante, já que estamos integrando L(A) = As de 0 a infinito. A Transformada de Laplace de uma constante é:
Então, aplicando isso a :

Passo 5

Mas também sabemos que A = integral0^infty f(tau) dtau = L^-1(1s F(s)) é a integral de de 0 a infinito. Então,
Isso mostra que a integral de de 0 a infinito está relacionada com a Transformada Inversa de .

Resposta

Portanto, mostramos que:
L(integral0^infty f(tau) dtau) = 1s F(s)
E assim,
integral0^infty f(tau) dtau = L^-1(1s F(s))

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