Mostre que se
é seccionalmente contínua e de ordem exponencial com
então
, ou seja,
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma geral no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
que é seccionalmente contínua e de ordem exponencial. A Transformada de Laplace dessa função é
. O exercício quer que a gente mostre que:
Ou seja,
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a Transformada de Laplace, propriedades dela, e como ela interage com integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. É uma ferramenta que transforma uma função do tempo
em uma função do domínio complexo
. A definição é:
Isso ajuda a resolver equações diferenciais e integrais de forma mais simples.
Passo 3
Agora, queremos aplicar a Transformada de Laplace à integral de
de 0 a infinito. Vamos chamar essa integral de
:
Nossa meta é encontrar
e relacionar com
.
Passo 4
Observa que
é uma constante, já que estamos integrando
de 0 a infinito. A Transformada de Laplace de uma constante
é:
Então, aplicando isso a
:
Passo 5
Mas também sabemos que
é a integral de
de 0 a infinito. Então,
Isso mostra que a integral de
de 0 a infinito está relacionada com a Transformada Inversa de
.
Resposta
Portanto, mostramos que:
E assim,
Exercícios relacionados
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(g)
R.:
(g)
R.:
Verifique se a equação dada é exata e resolva - a:
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(g)
R.:
(g)
R.:
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
©
R.:
©
R.: