Mostre que se é seccionalmente contínua e de ordem exponencial com então , ou seja, .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma geral no que a questão está pedindo. A gente tem uma função que é seccionalmente contínua e de ordem exponencial. A Transformada de Laplace dessa função é . O exercício quer que a gente mostre que:
Ou seja,
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a Transformada de Laplace, propriedades dela, e como ela interage com integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. É uma ferramenta que transforma uma função do tempo em uma função do domínio complexo . A definição é:
Isso ajuda a resolver equações diferenciais e integrais de forma mais simples.

Passo 3

Agora, queremos aplicar a Transformada de Laplace à integral de de 0 a infinito. Vamos chamar essa integral de :
Nossa meta é encontrar e relacionar com .

Passo 4

Observa que é uma constante, já que estamos integrando de 0 a infinito. A Transformada de Laplace de uma constante é:
Então, aplicando isso a :

Passo 5

Mas também sabemos que é a integral de de 0 a infinito. Então,
Isso mostra que a integral de de 0 a infinito está relacionada com a Transformada Inversa de .

Resposta

Portanto, mostramos que:
E assim,

Exercícios relacionados

Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(g)
R.:
Verifique se a equação dada é exata e resolva - a:
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(g)
R.:
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
©
R.: