Resolva o PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo PVI (Problema de Valor Inicial), que é assim:
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente as lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
Dividindo toda a equação original por
(já que
) para isolar
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. Ele é dado por:
Substituindo
:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pela fator integrante:
Perceba que voltamos à equação original, mas isso é normal no processo. O importante é reconhecer que a esquerda agora é a derivada de
multiplicada pelo fator integrante.
Passo 5
Com o fator integrante, podemos reescrever a equação como:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos
:
Resposta
Por fim, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Então, a solução da equação diferencial é:
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Resolva o PVI
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(i)
R.:
(i)
R.:
Verifique se a equação dada é exata e resolva - a:
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(g)
R.:
(g)
R.: