Resolva o PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial do tipo PVI (Problema de Valor Inicial), que é assim:
Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente as lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
Dividindo toda a equação original por (já que ) para isolar :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que nos ajuda a simplificar a equação. Ele é dado por:
Substituindo :
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pela fator integrante:
Perceba que voltamos à equação original, mas isso é normal no processo. O importante é reconhecer que a esquerda agora é a derivada de multiplicada pelo fator integrante.

Passo 5

Com o fator integrante, podemos reescrever a equação como:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos :

Resposta

Por fim, usamos a condição inicial para encontrar :
Então, a solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Resolva o PVI
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(i)
R.:
Verifique se a equação dada é exata e resolva - a:
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(g)
R.: