Verifique se a equação dada é exata e resolva - a:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa verificar se é exata e, se for, resolver ela. A equação que vimos é:

Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas para resolver esse problema. Precisaremos lembrar como identificar se uma equação é exata e, se for o caso, como encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação exata. Uma equação diferencial da forma é exata se existe uma função tal que:

Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:

Calculando :
Calculando :

Como , a equação é exata.

Passo 4

Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função tal que:

Integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de . Agora, vamos derivar em relação a e igualar a :

Assim:
Integrando em relação a :

Onde é a constante de integração. Então, a função completa é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Onde é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados

Resolva o PVI:
Resolva o PVI
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(g)
R.:
Mostre que se é seccionalmente contínua e de ordem exponencial com então , ou seja, .