Verifique se a equação dada é exata e resolva - a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que precisa verificar se é exata e, se for, resolver ela. A equação que vimos é:
Vamos usar o conteúdo de equações diferenciais exatas para resolver esse problema. Precisaremos lembrar como identificar se uma equação é exata e, se for o caso, como encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação exata. Uma equação diferencial da forma
é exata se existe uma função
tal que:
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Calculando
Calculando
:
Como
Passo 4
Agora que sabemos que a equação é exata, vamos encontrar a função
tal que:
Integrando
Aqui,
é uma função que depende só de
. Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
:
Assim:
Integrando
em relação a
:
Onde
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
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Resolva o PVI:
Resolva o PVI
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(g)
R.:
(g)
R.:
Mostre que se
é seccionalmente contínua e de ordem exponencial com
então
, ou seja,
.