Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(b) g(x) = sinh(a x)
R.: G(s) = a / (s^2 - a^2), |s| > a

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar a Transformada de Laplace da função . Para isso, vamos utilizar os conceitos de Transformada de Laplace e das funções hiperbólicas. Precisaremos lembrar das definições básicas da Transformada de Laplace e da função seno hiperbólico ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função é definida por:
Isso significa que transformamos uma função do tempo para uma função no domínio de frequência .

Passo 3

Agora, vamos lembrar da definição da função seno hiperbólico. A função é definida como:
Isso nos ajuda a expressar em termos de exponenciais, o que facilitará a aplicação da Transformada de Laplace.

Passo 4

Vamos aplicar a Transformada de Laplace à função :
Podemos separar a transformada em duas partes:

Passo 5

Sabemos que a Transformada de Laplace de é:
Aplicando isso aos termos e :

Passo 6

Substituindo essas transformadas na expressão original:
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 7

Calculando a diferença das frações:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da Transformada:
Para que a transformada exista, a condição deve ser satisfeita.

Resposta

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