Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
©
R.:
©
R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Vamos precisar aplicar as propriedades da Transformada de Laplace para derivadas e resolver para
, que é a transformada de
. Por fim, faremos a transformada inversa para encontrar a solução
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Sabemos que:
Passo 3
Substituímos as transformadas na equação:
As condições iniciais são
e
. No entanto, como temos uma condição em
, precisamos ajustar nosso método. Para simplificar, vamos supor que
. Assim, a equação fica:
Passo 4
Fatoramos
:
Isolamos
:
Agora, fazemos a decomposição em frações parciais:
Resolvendo para
, encontramos:
Passo 5
Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(g)
R.:
(g)
R.:
Mostre que se
é seccionalmente contínua e de ordem exponencial com
então
, ou seja,
.
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(b)
R.:
(b)
R.:
Determinar e representar graficamente o domínio das seguintes funçōes dadas por: