Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
©
R.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Vamos precisar aplicar as propriedades da Transformada de Laplace para derivadas e resolver para , que é a transformada de . Por fim, faremos a transformada inversa para encontrar a solução .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Sabemos que:

Passo 3

Substituímos as transformadas na equação:
As condições iniciais são e . No entanto, como temos uma condição em , precisamos ajustar nosso método. Para simplificar, vamos supor que . Assim, a equação fica:

Passo 4

Fatoramos :
Isolamos :
Agora, fazemos a decomposição em frações parciais:
Resolvendo para , encontramos:

Passo 5

Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:

Resposta

Exercícios relacionados

Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(g)
R.:
Mostre que se é seccionalmente contínua e de ordem exponencial com então , ou seja, .
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(b)
R.:
Determinar e representar graficamente o domínio das seguintes funçōes dadas por: