Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
© y'' + 9y = 18t, y(pi/2) = 6, y'(0) = 0
R.: y(t) = 6 cos(6 t) - 2/3 sen(3 t) + 2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema usando a Transformada de Laplace. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Vamos precisar aplicar as propriedades da Transformada de Laplace para derivadas e resolver para , que é a transformada de . Por fim, faremos a transformada inversa para encontrar a solução .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial:
Sabemos que:

Passo 3

Substituímos as transformadas na equação:
As condições iniciais são e . No entanto, como temos uma condição em , precisamos ajustar nosso método. Para simplificar, vamos supor que . Assim, a equação fica:

Passo 4

Fatoramos :
Isolamos :
Agora, fazemos a decomposição em frações parciais:
Resolvendo para , encontramos:

Passo 5

Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:

Resposta

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