Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar alguns conceitos de Transformada de Laplace, especialmente como lidar com funções que envolvem multiplicando outra função. Vamos precisar lembrar da definição da Transformada de Laplace e de algumas propriedades básicas dela.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, a Transformada de Laplace de uma função , denotada por , é uma forma de transformar uma função do tempo para o domínio da frequência . A fórmula é:
Passo 3
Agora, nossa função é . Para encontrar , vamos usar uma propriedade da Transformada de Laplace que lida com o produto de e uma função . Essa propriedade diz que:
Ou seja, para transformar vezes uma função, basta tirar a derivada da Transformada de Laplace dessa função em relação a , e multiplicar por -1.
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, temos:
Então, precisamos primeiro encontrar .
Passo 5
Sabemos que a Transformada de Laplace de é:
Essa é uma fórmula padrão das transformadas de funções trigonométricas.
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada dessa expressão em relação a :
Para isso, usamos a regra do quociente de derivação, que diz que se , então a derivada é .
Passo 7
Aplicando a regra do quociente:
Passo 8
Lembrando da propriedade que usamos no Passo 3, precisamos multiplicar essa derivada por -1: