Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
©
R.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar alguns conceitos de Transformada de Laplace, especialmente como lidar com funções que envolvem multiplicando outra função. Vamos precisar lembrar da definição da Transformada de Laplace e de algumas propriedades básicas dela.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, a Transformada de Laplace de uma função , denotada por , é uma forma de transformar uma função do tempo para o domínio da frequência . A fórmula é:

Passo 3

Agora, nossa função é . Para encontrar , vamos usar uma propriedade da Transformada de Laplace que lida com o produto de e uma função . Essa propriedade diz que:
Ou seja, para transformar vezes uma função, basta tirar a derivada da Transformada de Laplace dessa função em relação a , e multiplicar por -1.

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, temos:
Então, precisamos primeiro encontrar .

Passo 5

Sabemos que a Transformada de Laplace de é:
Essa é uma fórmula padrão das transformadas de funções trigonométricas.

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada dessa expressão em relação a :
Para isso, usamos a regra do quociente de derivação, que diz que se , então a derivada é .

Passo 7

Aplicando a regra do quociente:

Passo 8

Lembrando da propriedade que usamos no Passo 3, precisamos multiplicar essa derivada por -1:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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Mostre que , onde .
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(j)
R.:
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(i)
R.:
Resolva o PVI