Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace da função
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de Transformada de Laplace, especialmente como lidar com funções que envolvem
multiplicando outra função. Vamos precisar lembrar da definição da Transformada de Laplace e de algumas propriedades básicas dela.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada de Laplace. Basicamente, a Transformada de Laplace de uma função
, denotada por
, é uma forma de transformar uma função do tempo
para o domínio da frequência
. A fórmula é:
Passo 3
Agora, nossa função é
. Para encontrar
, vamos usar uma propriedade da Transformada de Laplace que lida com o produto de
e uma função
. Essa propriedade diz que:
Ou seja, para transformar
vezes uma função, basta tirar a derivada da Transformada de Laplace dessa função em relação a
, e multiplicar por -1.
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, temos:
Então, precisamos primeiro encontrar
.
Passo 5
Sabemos que a Transformada de Laplace de
é:
Essa é uma fórmula padrão das transformadas de funções trigonométricas.
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada dessa expressão em relação a
:
Para isso, usamos a regra do quociente de derivação, que diz que se
, então a derivada é
.
Passo 7
Aplicando a regra do quociente:
Passo 8
Lembrando da propriedade que usamos no Passo 3, precisamos multiplicar essa derivada por -1:
Resposta
A Transformada de Laplace da função
é: