Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(j)
R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace da função definida por partes. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada de Laplace em funções definidas por intervalos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função é dada por:
Essa integral transforma a função em uma função de , que é uma variável complexa.
Passo 3
Como a função é definida por partes, vamos dividir a integral em intervalos onde a função tem expressões diferentes. No nosso caso:
Então, a Transformada de Laplace fica:
Como a terceira integral é zero, podemos ignorá-la.
Passo 4
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Para resolver essa integral, podemos usar a integração por partes, onde e .
Segunda integral:
Também aqui, podemos usar integração por partes ou uma substituição adequada para resolver.
Passo 5
Resolvendo a primeira integral usando integração por partes:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Calculando os limites:
Passo 6
Agora, resolvendo a segunda integral:
Vamos fazer uma substituição , então e os limites se tornam de a , ou seja, a . A integral fica: