Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(j)
R.: F(s)=1-2 e^-s+e^-ss^2
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace da função definida por partes. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada de Laplace em funções definidas por intervalos diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt é dada por:
Essa integral transforma a função em uma função de , que é uma variável complexa.
Passo 3
Como a função f(t) = t, & 0 <= t < 1 2 - t, & 1 <= t < 2 0, & 2 <= t < infty é definida por partes, vamos dividir a integral em intervalos onde a função tem expressões diferentes. No nosso caso:
Como a terceira integral é zero, podemos ignorá-la.
Passo 4
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
integral0^1 e^-st t , dt
Para resolver essa integral, podemos usar a integração por partes, onde integral1^2 e^-st (2 - t) , dt e .
Segunda integral:
Também aqui, podemos usar integração por partes ou uma substituição adequada para resolver.
Passo 5
Resolvendo a primeira integral usando integração por partes:
u = t Rightarrow du = dt
dv = e^-st dt Rightarrow v = -1s e^-st
Aplicando a fórmula de integração por partes integral0^1 e^-st t , dt = -ts e^-st |0^1 + 1s integral0^1 e^-st , dt :
= -1s e^-s + 0 + 1s ( 1 - e^-ss )
Calculando os limites:
= -e^-ss + 1 - e^-ss^2
Passo 6
Agora, resolvendo a segunda integral:
integral1^2 e^-st (2 - t) , dt
Vamos fazer uma substituição integral1^0 e^-s(2 - u) u (-du) = integral0^1 e^-s(2 - u) u , du , então e^-2s integral0^1 e^su u , du e os limites se tornam de u = u Rightarrow du = du a dv = e^su du Rightarrow v = e^sus , ou seja, integral0^1 e^su u , du = u e^sus |0^1 - 1s integral0^1 e^su , du a = e^ss - 0 - 1s ( e^s - 1s ) . A integral fica: