Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(j)
R.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace da função definida por partes. A Transformada de Laplace é uma ferramenta poderosa usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da Transformada de Laplace em funções definidas por intervalos diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função é dada por:
Essa integral transforma a função em uma função de , que é uma variável complexa.

Passo 3

Como a função é definida por partes, vamos dividir a integral em intervalos onde a função tem expressões diferentes. No nosso caso:
Então, a Transformada de Laplace fica:
Como a terceira integral é zero, podemos ignorá-la.

Passo 4

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Para resolver essa integral, podemos usar a integração por partes, onde e .
Segunda integral:
Também aqui, podemos usar integração por partes ou uma substituição adequada para resolver.

Passo 5

Resolvendo a primeira integral usando integração por partes:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Calculando os limites:

Passo 6

Agora, resolvendo a segunda integral:
Vamos fazer uma substituição , então e os limites se tornam de a , ou seja, a . A integral fica:
Isso simplifica para:
Usando integração por partes novamente:
Aplicando integração por partes:
Multiplicando pelo :

Passo 7

Agora, somamos as duas partes obtidas:
Simplificando:

Resposta

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Ache todas as soluciés da edo:
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(f)
R.:
Mostre que , onde .
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
©
R.: