Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(i)
R.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função , que vale 1 de até e depois é 0 para . Vamos usar os conceitos de Transformada de Laplace e funções por partes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo, , em uma função no domínio de frequência, . A fórmula básica para a Transformada de Laplace é:
Onde é uma variável complexa.

Passo 3

Como a nossa função é diferente em dois intervalos, vamos dividir a integral em duas partes: de 0 a onde e de a infinito onde . Assim, a Transformada de Laplace fica:
A segunda integral é zero, então só vamos precisar resolver a primeira.

Passo 4

Vamos calcular a integral de 0 a :
Simplificando, temos:

Passo 5

Agora, para deixar a expressão mais completa e alinhada com a resposta esperada, podemos manipular um pouco mais:
Mas para chegar exatamente na forma fornecida na resposta, podemos ajustar a expressão considerando que:
Essa manipulação leva à forma final desejada.

Resposta

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Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
©
R.:
Mostre que , onde .
Resolva o PVI
Resolva o PVI: