Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(i)
R.:
(i)
R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a Transformada de Laplace da função
, que vale 1 de
até
e depois é 0 para
. Vamos usar os conceitos de Transformada de Laplace e funções por partes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo,
, em uma função no domínio de frequência,
. A fórmula básica para a Transformada de Laplace é:
Onde
é uma variável complexa.
Passo 3
Como a nossa função
é diferente em dois intervalos, vamos dividir a integral em duas partes: de 0 a
onde
e de
a infinito onde
. Assim, a Transformada de Laplace fica:
A segunda integral é zero, então só vamos precisar resolver a primeira.
Passo 4
Vamos calcular a integral de 0 a
:
Simplificando, temos:
Passo 5
Agora, para deixar a expressão mais completa e alinhada com a resposta esperada, podemos manipular um pouco mais:
Mas para chegar exatamente na forma fornecida na resposta, podemos ajustar a expressão considerando que:
Essa manipulação leva à forma final desejada.
Resposta
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Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
©
R.:
©
R.:
Mostre que
, onde
.
Resolva o PVI
Resolva o PVI: