Mostre que
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa mostrar que a transformada de Laplace de
é igual a
, onde
. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. Se
, então:
Essa é a base para trabalharmos no próximo passo.
Passo 3
Agora, queremos encontrar
. De acordo com a definição, temos:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica de integração conhecida como integração por partes, mas de uma forma adaptada. Observamos que:
Isso porque, ao integrar
de
até
, obtemos
, que simplifica para
quando multiplicado por
.
Passo 5
Substituindo essa expressão na nossa transformada, ficamos com:
Passo 6
Agora, podemos trocar a ordem das integrais (isso é válido sob certas condições, que geralmente são atendidas em problemas de Laplace):
Passo 7
Observamos que a integral interna é exatamente a transformada de Laplace de
, mas avaliada em
:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão, temos: