Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa mostrar que a transformada de Laplace de é igual a , onde . Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. Se , então:
Essa é a base para trabalharmos no próximo passo.
Passo 3
Agora, queremos encontrar . De acordo com a definição, temos:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica de integração conhecida como integração por partes, mas de uma forma adaptada. Observamos que:
Isso porque, ao integrar de até , obtemos , que simplifica para quando multiplicado por .
Passo 5
Substituindo essa expressão na nossa transformada, ficamos com:
Passo 6
Agora, podemos trocar a ordem das integrais (isso é válido sob certas condições, que geralmente são atendidas em problemas de Laplace):
Passo 7
Observamos que a integral interna é exatamente a transformada de Laplace de , mas avaliada em :