Mostre que L(f(t)t)=integrals^infty F(tau) d tau, onde L(f(t))=F(s).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa mostrar que a transformada de Laplace de é igual a , onde . Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. Se F(s) = integral0^infty e^-st f(t) , dt , então:
Essa é a base para trabalharmos no próximo passo.

Passo 3

Agora, queremos encontrar L f(t)t = integral0^infty e^-st f(t)t , dt . De acordo com a definição, temos:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica de integração conhecida como integração por partes, mas de uma forma adaptada. Observamos que:
1t = integrals^infty e^-tau t , dtau
Isso porque, ao integrar de até , obtemos , que simplifica para quando multiplicado por .

Passo 5

Substituindo essa expressão na nossa transformada, ficamos com:
L f(t)t = integral0^infty e^-st f(t) ( integrals^infty e^-tau t , dtau ) dt

Passo 6

Agora, podemos trocar a ordem das integrais (isso é válido sob certas condições, que geralmente são atendidas em problemas de Laplace):
L f(t)t = integrals^infty ( integral0^infty e^-(s+tau)t f(t) , dt ) dtau

Passo 7

Observamos que a integral interna é exatamente a transformada de Laplace de integral0^infty e^-(s+tau)t f(t) , dt = F(s + tau) , mas avaliada em :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão, temos:
L f(t)t = integrals^infty F(tau) , dtau

Resposta

L(f(t)t)=integrals^infty F(tau) , dtau

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