Mostre que , onde .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa mostrar que a transformada de Laplace de é igual a , onde . Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace e algumas propriedades de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. Se , então:
Essa é a base para trabalharmos no próximo passo.

Passo 3

Agora, queremos encontrar . De acordo com a definição, temos:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica de integração conhecida como integração por partes, mas de uma forma adaptada. Observamos que:
Isso porque, ao integrar de até , obtemos , que simplifica para quando multiplicado por .

Passo 5

Substituindo essa expressão na nossa transformada, ficamos com:

Passo 6

Agora, podemos trocar a ordem das integrais (isso é válido sob certas condições, que geralmente são atendidas em problemas de Laplace):

Passo 7

Observamos que a integral interna é exatamente a transformada de Laplace de , mas avaliada em :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão, temos:

Resposta

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Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(j)
R.:
Ache todas as soluciés da edo:
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
©
R.:
Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
(i)
R.: